2008 年安徽预赛 · 第 15 题

解答

取公共切线为横轴，令 $E=(0,0),F=(d,0)$，其中 $d\ne 0$。前两圆相交，圆心同在切线一侧，可设 $O_1=(0,r_1),O_2=(d,r_2)$，半径分别为 $r_1,r_2>0$。第三圆圆心记为 $(u,v)$，半径 $r>0$。由外切接点在线心连线上，$C=\frac{r_1}{r_1+r}(u,v+r)$，$D=F+\frac{r_2}{r_2+r}(u-d,v+r)$，因此直线 $CE,DF$ 的交点是 $G=(u,v+r)$。外切条件给 $u^2+(v-r_1{)}^2=(r+r_1{)}^2$ 及 $(u-d{)}^2+(v-r_2{)}^2=(r+r_2{)}^2$，展开后可得 $G$ 对前两圆的幂均为 $2r(v+r)$。所以 $G$ 满足两圆方程相减得到的一次方程。两圆交点 $A,B$ 也满足此方程，故它正是直线 $AB$，得到 $\boxed{A,B,G\text{ 共线}}$。