2023 年江西预赛

解答

以下给出全部直线的参数式。任取 $\theta \in [0,\pi )$，记 $c=\cos \theta ,s=\sin \theta$，并定义 $\alpha =\min (c+3s,5c+4s,3c+7s)$、$\beta =\max (c+3s,5c+4s,3c+7s)$；同样令 $\gamma =\min (7c+s,10c+2s,8c+6s)$、$\delta =\max (7c+s,10c+2s,8c+6s)$。构造实数集 $H_{\theta }$ 如下：先收入区间 $[\max (\alpha ,\gamma ),\min (\beta ,\delta )]$，若其左端大于右端则不收入；若 $\beta <\gamma$，收入 $(\beta +\gamma )/2$；若 $\delta <\alpha$，收入 $(\delta +\alpha )/2$；若 $\alpha =\gamma$，收入全部 $h\le \alpha$；若 $\beta =\delta$，收入全部 $h\ge \beta$。全部答案恰为 $\boxed{l:cx+sy=h,\theta \in [0,\pi ),h\in H_{\theta }}$。证明是：两个三角形的法向投影分别为 $I=[\alpha ,\beta ]$、$J=[\gamma ,\delta ]$，点到直线距离的最小值分别等于 $h$ 到这两个区间的距离。若 $h$ 同属两区间，两距离都为零；若在两区间之间，只能是两个相邻端点的中点；若在两区间共同左侧或右侧，则只有相应近端点相等时，两距离才相等。其余位置是一边距离零、另一边正，不能成立。这穷尽了全部实数 $h$。