2011 年河北预赛 · 第 10 题

解答

不妨取 $A=(-2,0),B=(2,0)$，设 $P=(4,t)$。沿 $A+s(P-A)$ 代入圆方程，除去已知根零，得到 $M=((72-2t^2)/(36+t^2),24t/(36+t^2))$。同理从 $B$ 出发得到 $N=((2t^2-8)/(4+t^2),-8t/(4+t^2))$。两点都满足 $(t^2-12)y+8t(x-1)=0$，且此式系数不同时为零，故就是 $MN$ 的方程。它恒过 $\boxed{(1,0)}$，命题成立。