2018 年辽宁预赛 · 第 12 题

解答

以 $A$ 为原点，$BC$ 为横轴正方向，设 $B=(b,0),C=(c,0)$，其中 $b<0<c$，且 $P=(u,v),v\ne 0$。前两圆写为 $Q_1=x^2+y^2-bx+e_{1}y=0$、$Q_2=x^2+y^2-cx+e_{2}y=0$。因 $P$ 同属两圆，$e_1-e_2=(b-c)u/v$，故 $Q_1(X)-Q_2(X)=(c-b)(x-uy/v)$。按图的平行与顺序关系，可写 $D=tP(t>1)$、$E=D+(h,0)(h>0)$。于是 $Q_1(E)-Q_2(E)=(c-b)h=BC\cdot DE$。在题述两条实切线段均存在的构型下，切线长平方等于圆幂，即 $E{M}^2=Q_1(E),E{N}^2=Q_2(E)$。因此 $\boxed{E{M}^2-E{N}^2=DE\cdot BC}$。