2009 年安徽预赛 · 第 5 题

解答

设圆心为 $(h,k)$，半径 $r=|k|>0$。到两直线等距给 $|4h-3k|=5|k|$，所以 $h=2k$ 或 $h=-k/2$。又圆经过 $(1505,1008)$。在第一支，代入得 $4k^2-8036k+3281089=0$，其判别式 $12079872>0$，根和为 $2009$、根积为正，故有两个正根，半径之和为 $2009$。在第二支，得到 $k^2-2044k+13124356=0$，判别式 $-48319488<0$，没有实圆心。因此全部所求圆的半径之和为 $\boxed{2009}$。