2018 年河北预赛（高三卷） · 第 4 题

解答

设 $M=(x,y)$。切线长公式给 $M{N}^2=M{C}^2-1$，由它等于 $M{O}^2$，展开得到 $x+y=7/4$。反过来，这条直线上 $M{C}^2=M{O}^2+1>1$，所以所有点确为圆外点，有合法切线，且切线长等于 $MO$。于是所求最小值是原点到直线的距离，$\boxed{M{N}_{\min }=7/(4\sqrt{2})=7\sqrt{2}/8}$，在 $M=(7/8,7/8)$ 取得。