2009 年河南预赛 · 第 9 题

解答

向量 $(\sin \alpha ,\cos \alpha )$ 和 $(\cos \beta ,\sin \beta )$ 都可独立遍历单位圆，故其和的模不超过二。反过来，对任意 $0\le r\le 2$ 和方向角 $\theta$，取两个单位向量的方向为 $\theta \pm \arccos (r/2)$，它们的和恰为 $r(\cos \theta ,\sin \theta )$。两个原角均无范围限制，能实现这两方向。因此 $M$ 恰是半径二的闭圆盘，覆盖面积为 $\boxed{4\pi }$。