2016 年辽宁预赛 · 第 13 题

解答

把长度同时除以 $R$，记三个顶点的单位向量为 $a,b,c$。过 $O,B,C$ 的圆在归一化坐标中为 $|X{|}^2-U\cdot X=0$，其中 $U=(b+c)/(1+\cos 2A)$，因为 $U\cdot b=U\cdot c=1$。由 $a\cdot b=\cos 2C,a\cdot c=\cos 2B$，得 $U\cdot a=-\cos (B-C)/\cos A$。在 $AO$ 延长射线上写 $X=-ta$，第二根给 $t=\cos (B-C)/\cos A>0$，故 $O{A}^{\prime }=R\cos (B-C)/\cos A$，其余循环同理。令 $u=1/(\tan B\tan C),v=1/(\tan C\tan A),w=1/(\tan A\tan B)$。锐角与内角和给 $u,v,w>0$、$u+v+w=1$，且 $\cos (B-C)/\cos A=(1+u)/(1-u)$。函数 $g(s)=\ln [(1+s)/(1-s)]$ 在 $(0,1)$ 上二阶导数为 $4s/(1-s^2{)}^2>0$。于是 Jensen 不等式给 $g(u)+g(v)+g(w)\ge 3g(1/3)=\ln 8$。指数还原并乘 $R^3$，得到 $\boxed{O{A}^{\prime }\cdot O{B}^{\prime }\cdot O{C}^{\prime }\ge 8R^3}$。