2.1 直线的倾斜角与斜率

C。比一比“每水平走 \(1\) 米升高多少”：A 是 \(\dfrac{2}{10}=0.2\)，B 是 \(\dfrac14=0.25\)，C 是 \(\dfrac25=0.4\)，D 是 \(\dfrac18=0.125\)。因此 C 最陡。

只看升高多少不行（A 和 C 都升 \(2\) 米），要看“升高 ÷ 水平”这个比。坡越陡，这个比越大，坡和地面的夹角也越大。

把坡道换成坐标系里的直线：那个夹角叫倾斜角，那个比叫斜率。这一节讲这两样，再用斜率判断两条直线平行、垂直。

B。\(\tan150^\circ=-\tan30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}{3}\)。\(150^\circ\) 比 \(90^\circ\) 大，直线往右下走，斜率一定是负的，A 不对；C 是 \(\tan120^\circ\)，把 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 记混了。

B。\(k=\dfrac{5-(-1)}{-1-2}=\dfrac{6}{-3}=-2\)。选 A 的同学分子用了 \(Q\) 减 \(P\)、分母用了 \(P\) 减 \(Q\)，顺序没对齐；选 C 是把横纵坐标的差上下放反了。

A。\(k_1=\dfrac{2-0}{2-0}=1\)，\(k_2=\dfrac{6-3}{3-0}=1\)。\((0,3)\) 不在 \(l_1\) 上（\(l_1\) 上横坐标为 \(0\) 的点是原点），不重合，所以平行。常见的漏洞：算出 \(k_1=k_2\) 就写“平行”，忘了查重合——这题碰巧对了，练一练里有一道碰不巧的。

B。\(-3\cdot k_2=-1\)，\(k_2=\dfrac13\)。垂直的斜率是“倒数再变号”：选 C 只取了倒数，选 A 只变了号，选 D 是平行时的斜率。

A。\(k=\dfrac{4-1}{1-(-2)}=\dfrac33=1\)，\(\tan\alpha=1\) 且 \(0^\circ\le\alpha<180^\circ\)，\(\alpha=45^\circ\)。B 的角和斜率对不上（\(\tan135^\circ=-1\)）；D 只算了 \(4-1\)，忘了除以横向差。

A。\(P\)、\(Q\) 横坐标不同，\(k_2=\dfrac{a-1}{3-1}=\dfrac{a-1}{2}\)。垂直要 \(2\cdot\dfrac{a-1}{2}=-1\)，\(a-1=-1\)，\(a=0\)。选 C 的同学按平行算了（\(\dfrac{a-1}{2}=2\)）。

C。A 错：竖直线倾斜角 \(90^\circ\)，没有斜率——每条直线都有倾斜角，不一定有斜率。B 错：要 \(x_1\ne x_2\)，比如 \((2,1)\)、\((2,5)\) 分母是 \(0\)。D 错：\(30^\circ\) 的斜率约 \(0.58\)，\(120^\circ\) 的斜率约 \(-1.73\)，角大了斜率反而小。

B。\(k_1=\dfrac{3-1}{1-0}=2\)，\(k_2=\dfrac{7-5}{3-2}=2\)，斜率相等。但 \(A\)、\(C\) 连线的斜率 \(\dfrac{5-1}{2-0}=2\)，也是 \(2\)，说明 \(C\) 在 \(l_1\) 上：四个点在同一条线上，是重合，不是平行。斜率相等只说明方向一样，还要排除重合。在“动手”②里点“重合”看一看。

B。\(l_1\) 横坐标都是 \(2\)，是竖直线；\(l_2\) 纵坐标都是 \(3\)，是水平线。一竖一横，垂直。\(k_1k_2=-1\) 只管两条都有斜率的情形，算不了它不代表不垂直，要先看有没有竖直线。

A。\(k_2=\dfrac{0-2}{-5-1}=\dfrac13\)，\(l_2\) 有斜率，所以 \(l_1\) 也得有：\(m\ne-1\)（\(m=-1\) 时 \(A(-1,1)\)、\(B(-1,-1)\) 竖直，不可能和 \(l_2\) 平行，C 错在这里）。

\(k_1=\dfrac{m-1}{-1-m}=\dfrac13\)，交叉相乘 \(3m-3=-1-m\)，\(m=\dfrac12\)。再排除重合：\(A\left(\dfrac12,1\right)\)，\(P\)、\(A\) 连线斜率 \(\dfrac{1-2}{\frac12-1}=2\ne\dfrac13\)，\(A\) 不在 \(l_2\) 上，确实平行。选 B 的同学按垂直列了式（\(\dfrac{m-1}{-1-m}=-3\)）。