2015 年河北预赛 · 第 12 题

解答

按题图，$A$ 是靠近外公切线 $CD$ 的交点，$B$ 是远端交点。平移、旋转并统一缩放，使 $B=(0,0)$、$CD:y=1$，设 $C=(c,1),D=(d,1)$，$c\ne d$。两圆的方程分别为 $Q_c=x^2+y^2-2cx+(c^2-1)y=0$ 与 $Q_d=0$。另一交点 $A$ 的纵坐标是 $4(1+cd)/[(c+d{)}^2+4]$；由图示顺序它为正，所以 $1+cd>0$。由 $E,A,F$ 共线、$E,C,P$ 共线及 $F,D,P$ 共线，圆周角关系给 $\angle PCB\equiv \angle EAB\equiv \angle FAB\equiv \angle PDB(\mathrm{mod}\pi )$，因此 $P,B,C,D$ 共圆，其圆方程为 $W=x^2+y^2-(c+d)x+(cd-1)y=0$。用复数表示向量，记 $z=\overrightarrow{BP},\xi =c+i,\eta =d+i$，代入上述圆方程和共线条件可得 $\overrightarrow{BE}=(\xi /\eta )z$、$\overrightarrow{BF}=(\eta /\xi )z$。于是两个单位方向之和为 $\frac{\overrightarrow{BE}}{BE}+\frac{\overrightarrow{BF}}{BF}=\frac{2(1+cd)}{\sqrt{(1+c^2)(1+d^2)}}\frac{\overrightarrow{BP}}{BP}$。系数严格为正，而两个单位向量之和正沿内角平分线，故 $\boxed{PB\text{ 平分 }\angle EBF}$。