2011 年河北预赛 · 第 8 题

解答

设 $M=(5,t)$，记 $\rho =OM=\sqrt{25+t^2}>4$。把 $OM$ 暂作横轴，切点坐标为 $T_{1,2}=(16/\rho ,\pm \sqrt{16-256/{\rho }^2})$。垂心在横轴上；从 $T_1$ 出发的高平行于 $O{T}_2$，可得垂心坐标为 $(32/\rho ,0)$。还原原坐标，$H=(160/(25+t^2),32t/(25+t^2))$，所以 $x^2+y^2=(32/5)x$。反过来，此圆上任意非原点的 $H$，取 $M=32H/|H{|}^2$ 就有横坐标五，且 $OM\ge 5>4$，原切线三角形确存在。因此轨迹为 $\boxed{(x-16/5{)}^2+y^2=(16/5{)}^2,(x,y)\ne (0,0)}$。