2010 年河北预赛 · 第 9 题

解答

设 $P=(x,y)$，记 $A=C_1-P,B=C_2-P$，$J(u,v)=(-v,u)$。令第一条直线的单位方向为 $e$，第二条为 $Je$。等弦条件等价于 $(A\cdot Je{)}^2=(B\cdot e{)}^2$，即 $[(-JA-B)\cdot e][(-JA+B)\cdot e]=0$。若两个固定系数向量都非零，每个线性条件至多给一个无向直线方向，不可能有无穷多对。因此必须 $B=\pm JA$。代入两圆心 $(-3,0),(0,5)$，解得 $\boxed{P=(1,1)\text{或}P=(-4,4)}$。反过来，两点均使 $P{C}_1,P{C}_2$ 垂直且等长。先取两条线分别过各圆心，弦都是直径；方向稍作连续改变，两个垂距仍相等且小于半径二，故仍有无穷多对合法割线，充分性成立。