2015 年湖北预赛 · 第 11 题

解答

圆盘 $B$ 使 $x,y\ge 0$，而集合 $A$ 中的分母要求 $x\ne 0$，故 $x>0$。若 $y\le x$，则 $2x-y\ge x>0$。若 $y>x$，原乘积条件迫使 $y\ge 18/(25x)$，即 $xy\ge 18/25$。假设此时 $2x-y<-1$，则 $y>2x+1>1$，结合圆盘得到 $1\ge (x-1{)}^2+(y-1{)}^2>(x-1{)}^2+4x^2$，所以 $0<x<2/5$。又 $(x-1{)}^2>9/25$，因而 $(y-1{)}^2<16/25$，于是 $y<9/5$，导致 $xy<18/25$，矛盾。因此目标至少为负一。点 $(2/5,9/5)$ 同时在圆周与双曲线上，属于 $A\cap B$，且目标为负一。所以 $\boxed{\min (2x-y)=-1}$。