培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录选择性必修第三册 · 第 6 章 计数原理
6.3 二项式定理
\((a+b)^2\)、\((a+b)^3\) 初中就会展开。次数变成 \(5\)、\(10\) 时，每一项的系数怎么一下子写出来？这一节用组合数回答，并学会求某一项、常数项和各项系数的和。
4 个不同的盒子，每盒各有一颗红球和一颗蓝球。每盒取一颗，要恰好两红两蓝。
只要选定哪两个盒子拿蓝球，就确定了一种取法吗？
B，能。选定拿蓝球的两个盒子，其余两个就拿红球；一共能找出 6 种选法。
详细解释与图示
把展开 \((a+b)^4 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\) 想象成 4 个礼盒：每个盒子里都装着一颗红球 \(a\) 和一颗蓝球 \(b\)。把括号乘开，就是从 4 个盒子里各摸出 1 颗球乘在一起。可用下图的按钮对照。
B。多项式乘法的本质就是从每一个相乘的括号中任挑一个字母相乘！
\((a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\dots(a+b)}_{n \text{ 个因式}}\)。要得到形如 \(a^{n-r}b^r\) 的单项式，必须且只需在其中的 \(r\) 个括号里选字母 \(b\)，而在剩下的 \(n-r\) 个括号里全部选字母 \(a\)。
从这 \(n\) 个括号中选出 \(r\) 个括号贡献 \(b\)，选法总数正是从 \(n\) 个不同对象中选 \(r\) 个的组合数 \(C_n^r\)！
例如 \(a^2b^2\) 的系数是 \(C_4^2=6\)；\(a^4\)、\(a^3b\)、\(ab^3\) 的系数依次为 \(1\)、\(C_4^1=4\)、\(C_4^3=4\)。
这一节学习二项式定理、通项公式，以及求系数和的常用方法——赋值法。
1. 先认识几个词
要用到：6.2 排列与组合（回看 6.2），二项式定理的本质是乘法分配律与组合计数的结合。
课本用词：通项中的组合数决定选出几项；求某一项要先按幂次定位，求系数和可令变量取 1，不能把项数和系数和混为一谈。
二项式定理：多项式 \((a+b)^n\) 展开后由若干项相加组成的公式：
$$(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + \cdots + C_n^r a^{n-r}b^r + \cdots + C_n^n b^n$$
为什么是组合数：展开式相当于 \(n\) 个括号 \((a+b)\) 相乘，每一项都必须从每个括号中选且仅选一个字母（选 \(a\) 或选 \(b\)）。若选了 \(r\) 个 \(b\)，剩下 \(n-r\) 个就必须选 \(a\)，选法数即为从 \(n\) 个括号中挑出 \(r\) 个括号选 \(b\)，共 \(C_n^r\) 种。
通项公式（第 \(r+1\) 项）：展开式中第 \(r+1\) 项记作 \(T_{r+1}\)：
$$T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r\quad (r = 0, 1, 2, \dots, n)$$
致命细节：通项的角标是 \(r+1\)，而组合数的上标和 \(b\) 的指数是 \(r\)。例如：求“第 3 项”时，对应的是 \(r = 2\)！
二项式系数 vs 项的系数：
• 二项式系数：仅指组合数 \(C_n^r\)，只由指数 \(n\) 与位次 \(r\) 决定，全为正数且两端对称，与 \(a, b\) 是什么完全无关；
• 项的系数：化简后未知数前面的全部数值乘数（包含负号与底数自带的系数，如 \((-2)^r C_n^r\)），可正可负，不对称。
定义：仅由 \(C_n^r\) 决定的系数，不含底数参数。
性质：恒为正数；两端对称；中间最大；总和 \(\sum C_n^r = 2^n\)。
自查：求某一项的二项式系数时，应先由项数确定哪个 \(r\)，再计算哪个组合数？
定义：单项式化简后，字母变量前面的全部数字常数乘数。
性质：受底数常数与符号影响，可正可负，不对称；求和用赋值法。
自查：求同一项的系数时，除了组合数，还要乘进底数中的哪些常数和符号？
2. 二项式色彩语义主公式与赋值法
通项与二项式定理主公式：
展开式：\((a+b)^n = \sum_{r=0}^n \color{#d97706}{C_n^r} \cdot \color{#1976d2}{a^{n-r}} \cdot \color{#2e7d32}{b^r}\)
通项公式：\(T_{\color{#ef4444}{r+1}} = \color{#d97706}{C_n^r} \cdot \color{#1976d2}{a^{n-r}} \cdot \color{#2e7d32}{b^r}\quad (\color{#ef4444}{\text{第 } r+1 \text{ 项对应 } b \text{ 的 } r \text{ 次方}})\)
赋值法三绝技（设 \(f(x) = (ax+b)^n = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n\)）：
① 所有项系数和：令 \(x = 1 \Longrightarrow f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)
② 常数项：令 \(x = 0 \Longrightarrow a_0 = f(0)\)
③ 偶次项与奇次项和：令 \(x = -1\) 算 \(f(-1)\)，则偶次和为 \(\dfrac{f(1)+f(-1)}{2}\)，奇次和为 \(\dfrac{f(1)-f(-1)}{2}\)。
自己试试：\((1+2x)^5\) 展开式的第 \(3\) 项是？
A。第 \(3\) 项对应 \(r=2\)：\(T_3=C_5^2\cdot1^3\cdot(2x)^2=10\times4x^2=40x^2\)。选 B 是把 \(r\) 取成了 \(3\)（那是第 \(4\) 项）；选 C 是忘了 \(2x\) 里的 \(2\) 也要平方；选 D 是 \(2\) 只乘了一次。
自己试试：\(\left(x-\dfrac{2}{x^2}\right)^6\) 展开式的常数项是？
A。\(T_{r+1}=C_6^r\,x^{6-r}\left(-2x^{-2}\right)^r=(-2)^r C_6^r\,x^{6-3r}\)。令 \(6-3r=0\)，\(r=2\)，常数项 \(=(-2)^2\times C_6^2=4\times15=60\)。选 B 是忘了乘 \((-2)^2\)；选 C 是负号没跟着平方；选 D 是把 \(x^{-2}\) 的 \(r\) 次方算成了 \(x^{-r}\)，次数写成 \(6-2r\)，解出 \(r=3\)。
自己试试：在 \((2x - 1)^5\) 的展开式中，第 3 项的“二项式系数”与该项的“系数”分别是：
A。通项是 \(T_{r+1} = C_5^r (2x)^{5-r}(-1)^r\)，第 3 项对应 \(r=2\)。
二项式系数只看组合数：\(C_5^2 = 10\)。
项：\(T_3 = 10\times(2x)^3\times(-1)^2 = 80x^3\)，系数 \(80\)，\((-1)^2=1\) 所以是正的。
选 B 是把 \((-1)^2\) 的符号算成了负；选 C 是把 \(C_5^2\) 算成了 \(5\times4=20\)，忘了除以 \(2\)；选 D 是把两个词弄反了。
3. 三步破题思维链引导
回看上题，自行核查：在 \(\left(x - \dfrac{2}{x^2}\right)^6\) 的展开式中，求（先独立作答，再对照题卡解析）：
① 展开式中的常数项；
② 第 3 项的二项式系数与该项的系数。
② 目标幂次已知 → 想到写二项式通项，比较未知量指数和系数，再解项的序号。
• ① 求常数项：常数项要求 \(x\) 的指数为 \(0\)。请解 \(6-3r=0\)，并检查所得 \(r\) 是否为 \(0\) 到 \(6\) 之间的整数。
再把这个 \(r\) 代入数值因数 \((-2)^r C_6^r\)，自行计算；
• ② 分析第 3 项：先由 \(r+1=3\) 确定 \(r\)：
– 二项式系数只需计算组合数 \(C_6^r\)；
– 该项的系数还应乘进什么因数？与①的结果有什么联系？
自己试试：设 \((2x+1)^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4\)，则 \(a_0+a_2+a_4=\)？
C。令 \(x=1\) 得 \(f(1)=3^4=81\)，令 \(x=-1\) 得 \(f(-1)=(-1)^4=1\)。偶次项系数和 \(=\dfrac{81+1}{2}=41\)（展开式是 \(16x^4+32x^3+24x^2+8x+1\)，\(1+24+16=41\)）。选 A 是所有系数都加了；选 B 是用了减号，算成了奇次项系数和；选 D 是套了二项式系数的 \(2^{n-1}\)，可这里问的是项的系数。
4. 三大翻车现场红绿对比卡
❌ 翻车：求展开式中的第 3 项，直接把 \(r=3\) 代入，算成 \(T_4\)。
✔ 正确：通项是 \(T_{r+1}\)！第 \(k\) 项对应 \(r = k - 1\)。第 1 项是 \(r=0\)，第 2 项是 \(r=1\)，第 3 项是 \(r=2\)！
❌ 翻车：求常数项时只写组合数，或把底数的负号留在幂运算之外。
✔ 自查：二项式写成 \(a+b\)，这里 \(b=-2x^{-2}\)。先由总指数为零求 \(r\)，再检查 \(b^r\) 中负号和常数是否都参与了乘方。请自行计算剩下的数值因数，并对照题卡答后解析。
❌ 翻车：求 \((2x - 1)^5\) 的各项系数和，直接套公式写 \(2^5 = 32\)。
✔ 正确：二项式系数和是 \(\sum C_5^r = 2^5 = 32\)；而各项系数和必须使用赋值法令 \(x = 1\)！代入得 \((2 \times 1 - 1)^5 = 1^5 = 1\)！两者的值天差地别。
杨辉三角与二项展开式实时推演实验室
调节指数 \(n\)（1～7，支持键盘 ← / → 调节），实时生成杨辉三角金字塔。点击金字塔数字可高亮展开项；切换赋值开关即刻验证全系数和与交错项：
从易到难排好了。前两道直接用，中间两道是最常见的致命陷阱，最后一道是高考综合挑战。
直接用
1. \((x + 2)^5\) 展开式中 \(x^3\) 项的系数为：
B。通项公式为 \(T_{r+1} = C_5^r x^{5-r} 2^r\)。
令 \(5 - r = 3 \implies r = 2\)。
代入求该项系数：\(C_5^2 \times 2^2 = 10 \times 4 = 40\)。
注意区分：该项的“二项式系数”是 \(C_5^2 = 10\)，而“项的系数”是 \(40\)。
2. 已知 \((1 + x)^n\) 展开式中所有项的二项式系数之和为 \(128\)，则该展开式共有多少项？
B。二项式系数之和公式为 \(\sum_{r=0}^n C_n^r = 2^n\)。
已知 \(2^n = 128 = 2^7\)，解得 \(n = 7\)。
展开式一共有 \(n + 1 = 7 + 1 = 8\) 项！无数考生在此粗心错选 A。
易错
3. 展开式 \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^6\) 中的第 4 项为：
B。通项公式为 \(T_{r+1} = C_6^r x^{6-r}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^r = (-1)^r C_6^r x^{6-2r}\)。
易错红线 1：求第 4 项必须代入 \(r = 4 - 1 = 3\)（不是 \(r = 4\)）！
易错红线 2：负号在奇数次方下必须保留：\((-1)^3 = -1\)。
因此第 4 项为 \(T_4 = (-1)^3 C_6^3 x^{6-6} = -1 \times 20 \times 1 = -20\)。漏掉负号就会错选 A。
4. 若 \((2x - 3)^5 = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + a_4 x^4 + a_5 x^5\)，则该展开式中“各项系数之和”与“各项二项式系数之和”分别为：
A。必须严格区分“系数和”与“二项式系数和”：
① 求各项系数之和：利用赋值法令 \(x = 1\)，左边为 \((2\times 1 - 3)^5 = (-1)^5 = -1\)，右边恰好是 \(a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5\)；
② 求二项式系数之和：它仅由组合数决定，恒等于 \(C_5^0 + C_5^1 + \dots + C_5^5 = 2^5 = 32\)。
两者含义迥然不同，考场上必须先看清题目问的是哪个词！
挑战
5. 在 \((x - 1)(x + 2)^4\) 的展开式中，\(x^3\) 项的系数为：
D。双因式相乘，用乘法分配律拆解为两组展开：
\((x - 1)(x + 2)^4 = x \cdot (x + 2)^4 - 1 \cdot (x + 2)^4\)。
要凑成 \(x^3\) 项，有两种途径：
① 前项 \(x \cdot (x + 2)^4\) 中，需要 \((x+2)^4\) 贡献 \(x^2\) 项：对应 \(r=2\)，即 \(C_4^2 x^2 2^2 = 6 \times 4 x^2 = 24x^2\)，乘面前的 \(x\) 得到 \(24x^3\)；
② 后项 \(-1 \cdot (x + 2)^4\) 中，需要 \((x+2)^4\) 贡献 \(x^3\) 项：对应 \(r=1\)，即 \(C_4^1 x^3 2^1 = 4 \times 2 x^3 = 8x^3\)，乘面前的 \(-1\) 得到 \(-8x^3\)；
合并两处同类项：\(24x^3 - 8x^3 = 16x^3\)，因此系数为 \(16\)。
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