2011 年安徽预赛 · 第 4 题

解答

有 $a_j=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j}\right)5^j$，故 $a_j/a_{j-1}=5(n-j+1)/j$，该比值随 $j$ 严格递减。要 $a_{2011}$ 最大，首先 $a_{2011}\ge a_{2010}$，即 $5(n-2010)\ge 2011$，所以整数 $n\ge 2413$。此时后一项存在，再要求 $a_{2012}\le a_{2011}$，得 $5(n-2011)\le 2012$。合起来

相邻比的单调性保证这两个局部比较也足以使该项为全部系数中的最大项。