2010 年湖北预赛 · 第 3 题

解答

设三项为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r-1}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right),\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r+1}\right)$，其中 $1\le r\le n-1$。等差条件除以正数 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)$，得

交叉相乘整理为 $(n-2r{)}^2=n+2$。令 $m=|n-2r|$，则 $n=m^2-2<100$，从而 $m\le 10$、$n\le 98$。当 $n=98,r=44$ 时 $n-2r=10$，且三个下标合法，故条件确实成立。最大整数为 $\boxed{98}$。