选择性必修第三册 · 第 6 章计数原理

6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

计算出行方案、穿搭组合等问题中“一共有多少种可能”，有两条基本原理：各类都能独立完成时用加法，各步缺一不可时用乘法。

小明从学校出发前往位于海岛的研学基地。第一阶段：从学校到码头中转站，可以乘大巴（有 3 趟班车），也可以乘轻轨（有 2 趟列车）；第二阶段：从中转码头到海岛，必须换乘渡轮（有 4 艘渡轮）。先根据题目数据作答，再操作图示核对。

小明从学校出发顺利抵达海岛研学基地，共有多少种不同的路线走法？

1. 先认识几个词

要用到：1.1 集合与元素（回看 1.1）；1.3 交集与并集（回看 1.3），分类的“不重不漏”就是各子集无交集且并集为全集。

课本用词：分类相加要求各类互不重叠且覆盖全部情况；分步相乘要求每一步都必须完成，先判断题目结构再选法则。

完成一件事：计数的第一步是界定终点状态，即“做到什么程度算彻底完成”。

例：“从北京到上海”，坐 3 趟高铁中的任意一趟均已到达（事情办完）；而“组装一台电脑”，买好 CPU 只是完成了第一步，必须主板、内存全部装好才算办完。

分类加法（互斥并联）：完成一件事有 $k$ 类互不相交的方案，第 $1$ 类有 $m_1$ 种方法，……第 $k$ 类有 $m_k$ 种方法。任选一类中的任意一种方法都能独立办完这件事，总方法数为：

$$N = m_1 + m_2 + \cdots + m_k$$

分步乘法（工序串联）：完成一件事必须依次经过 $k$ 个步骤，第 $1$ 步有 $m_1$ 种方法，……第 $k$ 步有 $m_k$ 种方法。缺少任何一步都不能算完成，各步按工序组装，总方法数为：

$$N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k$$

不重不漏：分类计数的基本要求。不重（任意两类交集为空，不重复计数）；不漏（各类并集等于全集，无遗漏方案）。若出现交集，必须用容斥原理 $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ 纠正。

计数原理直觉微图解：加法并联、乘法树状展开与分类分步综合

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分类加法原理（互斥独立） 独立直达

核心特征：类与类互斥无交集，任选一法即大功告成。

灵魂发问：“只选这一个办法，事情办完没有？”——办完了！

算式形态：$N = m_1 + m_2 + \cdots + m_k$

分步乘法原理（关联协同） 缺一不可

核心特征：步与步工序递进，缺任何一步均未完成。

灵魂发问：“只选这一个办法，事情办完没有？”——才办了一步！

算式形态：$N = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k$

2. 计数原理色彩语义主公式

两大法则主公式：

分类加法：$N = \color{#1976d2}{m_1} + \color{#1976d2}{m_2} + \cdots + \color{#1976d2}{m_k}\quad (\text{各类方案}\color{#1976d2}{\text{互斥独立，直达终点}})$

分步乘法：$N = \color{#2e7d32}{m_1} \times \color{#2e7d32}{m_2} \times \cdots \times \color{#2e7d32}{m_k}\quad (\text{各个步骤}\color{#2e7d32}{\text{依次完成，缺一不可}})$

决策口诀：完成标准先界定；独立办完走分类相加，缺一不可走分步连乘；步数受制先分类再分步。

自检：书架上放有 $4$ 本不同的数学书、$3$ 本不同的物理书、$2$ 本不同的化学书。① 若从中任取一本，有几种取法？② 若三科各取一本，有几种取法？

C。① 只取一本：取数学书、物理书或化学书都能单独办完，属于分类加法：$4+3+2=9$ 种；② 三科各取一本：取完数学书还没办完，要三科都取，属于分步乘法：$4\times3\times2=24$ 种。

自己试试：从 $1$ 到 $30$ 中选一个数，要求它是 $2$ 的倍数或 $5$ 的倍数，有几种选法？

B。分成不重的两类：偶数 $15$ 个；是 $5$ 的倍数的奇数 $5,15,25$，$3$ 个。共 $15+3=18$。选 A 是直接 $15+6$：$10,20,30$ 两类都算了一次，重了；选 D 是把“选一个数”当成了两步相乘。

自己试试：$3$ 名同学各报名参加 $4$ 个兴趣小组中的一个（可以报同一个组），一共有几种报名结果？

C。三个人都报完才算办完，一人一步：每人都有 $4$ 个组可选，$4\times4\times4=64$。选 B 是把“组”当成了步骤，算成 $3^4$：可每个组并不是非选一个人不可；选 D 是以为不能报同一个组；选 A 是把乘法做成了 $3\times4$。

3. 三步破题思维链例题

典型例题：用数字 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

👀 第一眼破题信号： ① 看到位数、奇偶、首位或末位等多个限制，且后面可选数随前面变化 → 想到分类。
② 各种情况互斥且覆盖 → 想到按最受限制的位置分组，再在每组中按位置逐步相乘。

🔧 第二步分类分步求解：

• 第 1 类（末位为 $0$）：末位 $1$ 种 $\to$ 首位从 $1\sim 5$ 任选 $5$ 种 $\to$ 十位从余下 $4$ 个数字任选 $4$ 种：
$$N_1 = 1 \times 5 \times 4 = 20\text{ 个}$$ • 第 2 类（末位为 $2$ 或 $4$）：末位 $2$ 种 $\to$ 首位不能为 $0$ 且不能与末位相同，剩 $4$ 种 $\to$ 十位从余下 $4$ 个数字任选 $4$ 种：
$$N_2 = 2 \times 4 \times 4 = 32\text{ 个}$$

🛡️ 第三步分类汇总与防坑核查：两类互斥且穷尽，由分类加法原理得总数：$N = N_1 + N_2 = 20 + 32 = 52$ 个。切忌粗暴连乘“末位 3 种 × 首位 4 种 × 十位 4 种 = 48”（漏算了末位是 0 时首位多出的 1 种自由度）。

自己试试：用 $0,1,2,3$ 能组成多少个没有重复数字的三位偶数？

B。个位是 $0$：百位 $3$ 种、十位 $2$ 种，$6$ 个；个位是 $2$：百位只能是 $1$ 或 $3$，$2$ 种，十位 $2$ 种，$4$ 个。共 $6+4=10$。选 A 是不分类、直接按个位 $2$ 种 × 百位 $3$ 种 × 十位 $2$ 种，把 $0$ 打头的 $2$ 个（$012$、$032$）也数进去了。

4. 常见误区与正误对比

翻车现场 1：凭文字表面的“和/或”字机械套用加减乘除

❌ 翻车：“从 3 男 4 女中选 1 男和 1 女”见“和”字就做加法算 $3+4=7$ 种。

✔ 正确：判定本质标准——选 1 男未完成任务，必须再选 1 女，属于分步乘法：$3 \times 4 = 12$ 种！只有“选 1 名男生或 1 名女生（只选 1 人）”才是分类加法 $3+4=7$。

翻车现场 2：步与步存在动态依赖时强行连乘

❌ 翻车：组成无重复数字偶数时，直接写 $3(\text{末位}) \times 4(\text{首位}) \times 4(\text{十位}) = 48$。

✔ 正确：若第 1 步的不同选择导致后续可选种类数发生改变，则不能直接连乘！必须在产生分歧的地方先分类（个位是 0 vs 个位非 0），各类内分步相乘，最后两类相加得 $20+32=52$。

翻车现场 3：主体与客体倒挂，指数底数颠倒（$m^n$ 还是 $n^m$？）

❌ 翻车：看到 3 名同学和 4 个兴趣小组，就凭数字顺序决定幂的底数和指数。

✔ 自查：先确定谁在做选择，再数每一步有几种选择。每名同学必须且只能选 1 个组，小组人数不限：要分几步？每一步的选择数是多少？请把各步的选择数写出来，再按分步乘法计数。若反过来让每个小组挑同学，会不会让同一个人被挑多次或无人挑选？

反例微图解：主体（同学）做工序 vs 客体（小组）倒挂的分配错乱

先把同学作为决策者：每名同学各做一次选择。请对照图中的连线，自己列出乘法式并计算。

计数决策树与搭配全景生成器

切换“分类加法模式”与“分步乘法模式”，动态观察树状图的分支形态。分类模式下分支并列独立直达终点，分步模式下分支逐级展开相乘：

直接用

1. 某班级有男生 20 人，女生 18 人。从中推选一人担任班长，有几种推选方法？若推选男、女班长各一人，又有几种推选方法？

A。推选一人：选男生或选女生都能完成，分类加法：$20 + 18 = 38$ 种；推选男女各一人：必须先选男生再选女生才完成，分步乘法：$20 \times 18 = 360$ 种。

2. 某密码锁的密码是由 2 个不同的大写英文字母后跟 3 个不同的数字（0~9）组成的。这样的密码总共有多少个？

D。形成密码必须完成 5 个步骤：第 1 位字母有 26 种，第 2 位不同字母有 25 种；第 3 位数字有 10 种，第 4 位不同数字有 9 种，第 5 位不同数字有 8 种。分步相乘：$26 \times 25 \times 10 \times 9 \times 8 = 468,000$ 个。

C 把最后一位数字仍算成 $9$ 种，但前两位数字已用了两个不同数字，只剩 $8$ 种；交换乘式中因子的次序不会改变总数，不能据书写顺序判错。

易错

3. 由数字 $1, 2, 3, 4, 5$ 组成没有重复数字的五位数，其中两端（首位和末位）都必须是奇数的五位数共有：

B。分步解决优先限制位置：奇数有 $1, 3, 5$（共 3 个），偶数有 $2, 4$（共 2 个）。

① 首位排奇数：3 种；

② 末位排奇数：剩 2 个奇数可选，2 种；

③ 中间三个位置排剩下的 3 个数字（1 个奇数和 2 个偶数）：$3 \times 2 \times 1 = 6$ 种。

根据分步乘法原理：$N = 3 \times 2 \times 6 = 36$ 个。

条件只限制首位和末位：剩下的一个奇数可以排在中间，不是要求所有奇数都排在两端。

4. 一张地图分成 $A, B, C, D$ 四块：$A$ 与 $B, C, D$ 都相邻，$B$ 与 $C$ 相邻，$C$ 与 $D$ 相邻，$B$ 与 $D$ 不相邻。用红、黄、蓝、绿 4 种颜色涂色，相邻两块颜色不同（颜色可以不用完），共有多少种涂法？

A。按“相邻最多的先涂”分步：

先涂 $A$：$4$ 种；再涂 $C$（与 $A$ 相邻）：$3$ 种；$B$ 只要和 $A, C$ 不同：$2$ 种；$D$ 也只要和 $A, C$ 不同：$2$ 种（$B, D$ 不相邻，可以同色）。共 $4\times3\times2\times2=48$ 种。

也可以按 $B, D$ 同色、异色分类核对：同色 $4\times3\times2\times1=24$，异色 $4\times3\times2\times1=24$，合计 $48$。选 $84$ 的同学套了“四块围成一圈”的经典题，可这里 $A$ 和其余三块都相邻，不是环形。

挑战进阶

5. 在 $1$ 到 $1000$ 的正整数中，数字中含有数字 3 的正整数共有多少个？

B。正难则反（间接计数法）！

考察从 000 到 999 这一千个三位编码（对应 0 到 999，其中 1000 不含 3）。

不含数字 3 的每一位只能从余下的 9 个数字（0,1,2,4,5,6,7,8,9）中任选：

不含 3 的编码数：$9 \times 9 \times 9 = 729$ 个（包含了 000）。

除去 000 本身，在 1 到 999 中不含 3 的数有 $729 - 1 = 728$ 个；加上 1000（不含 3），1 到 1000 中不含 3 的数共有 $728 + 1 = 729$ 个。

因此含有数字 3 的正整数总数：$1000 - 729 = 271$ 个！

本节高考真题

共 12 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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一试延伸

学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。

经典的计数模型组合计数综合二项式定理排列组合

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