培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录选择性必修第三册 · 第 6 章 计数原理
6.2 排列与组合
从 \(5\) 个人里选 \(3\) 个人，要不要管顺序？当正副班长要管，组值日小组不用管。管顺序叫排列，不管叫组合，这一节学怎么数它们。
班级里有 4 位优秀的同学 \(A, B, C, D\) 竞选班委：
情境 1：推选 2 人，分别担任“正班长”和“副班长”；
情境 2：推选 2 人，共同组成“图书整理小组”。先根据题目数据作答，再操作图示核对。
情境 1 和情境 2 最终选出的方案总数是否一样？
B。情境 1 中，选出 A 和 B 时，“A 当正班长、B 当副班长”与“B 当正班长、A 当副班长”是两码事！分先后顺序，属于排列，共有 \(4 \times 3 = 12\) 种；
而在情境 2 中，无论谁先被抽中，A 和 B 组合在一起都是同一个小组，颠倒顺序毫无影响！不计顺序，属于组合，共有 \(\dfrac{12}{2!} = 6\) 种。
这一节就来数清楚：讲顺序的叫排列，不讲顺序的叫组合，两者差多少倍；再看有条件的排队（特殊优先、捆绑、插空）怎么数。
1. 先认识几个词
要用到：6.1 分类加法与分步乘法（回看 6.1），排列与组合是分步乘法在“选取与排序”问题上的系统化公式。
课本用词：先问“换位置算不算新结果”：有职务次序用排列，无次序分组用组合；重复或限制条件不能直接套无条件公式。
排列（有序安排）：从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个（\(m \le n\)），按照一定的顺序排成一列。元素相同但次序不同，就是两种不同的排列。
例：选班长和副班长，甲当班长乙当副班长，与乙当班长甲当副班长是两码事，这是排列。
组合（无序挑选）：从 \(n\) 个不同元素中取出 \(m\) 个（\(m \le n\)），不管先后顺序，合成一组。只要取出的元素完全相同，不管谁先谁后都是同一种组合。
例：选 2 名代表去开会，选出甲和乙，不管先叫谁的名字，代表团成员完全一样，这是组合。
交换检验法：判定排列与组合的黄金法则。取出元素后，将其中任意两个元素交换次序，问自己：“事情的结果发生改变了吗？”
• 改变了 \(\Longrightarrow\) 排列（如站队、车票、排座位、选职位）；
• 没有改变 \(\Longrightarrow\) 组合（如握手、组队、选代表、连线段）。
阶乘 \(n!\)：正整数 \(1\) 到 \(n\) 的连乘积，规定 \(0! = 1\)。全排列数即为 \(A_n^n = n!\)。
公式：\(A_n^m = n(n-1)\cdots(n-m+1) = \dfrac{n!}{(n-m)!}\)
本质：从 \(n\) 个元素里挑出 \(m\) 个排进 \(m\) 个带编号的槽位。
检验：交换槽位元素，方案改变（\((A, B) \ne (B, A)\)）。
公式：\(C_n^m = \dfrac{A_n^m}{m!} = \dfrac{n!}{m!(n-m)!}\)
本质：不管内部顺序，把内部全排列的 \(m!\) 种重复方案折叠为 1 种。
检验：交换两元素，集合未变（\(\{A, B\} = \{B, A\}\)）。
2. 排列组合核心公式与性质
核心公式与消重联系：
排列数：\(A_n^m = \color{#1976d2}{n(n-1)\cdots(n-m+1)} = \color{#1976d2}{\dfrac{n!}{(n-m)!}}\)
组合数：\(C_n^m = \color{#2e7d32}{\dfrac{A_n^m}{m!}} = \color{#2e7d32}{\dfrac{n!}{m!(n-m)!}}\quad (\color{#2e7d32}{\text{除以 } m! \text{ 消除内部乱序}})\)
组合数的两个关系（选学探究，不要求预记）：
① 对称性：\(C_n^m = C_n^{n-m}\quad (\text{选 } m \text{ 个留下等价于选 } n-m \text{ 个淘汰})\)
② 递推性：\(C_{n+1}^m = C_n^m + C_n^{m-1}\quad (\text{含特异元素分类：不含它 } C_n^m + \text{含它 } C_n^{m-1})\)
自检：判断下列两个情境属于排列还是组合？
情境 1：10 个人见面，每两个人之间握一次手，共握手多少次？
情境 2：一条铁路线路上有 10 个车站，铁路局需要准备多少种不同的硬座火车票（区分起点与终点）？
B。情境 1 中，甲与乙握手就是乙与甲握手，交换后没变，是组合（共 \(C_{10}^2 = 45\) 次）；情境 2 中，“甲站到乙站”和“乙站到甲站”是两种票，交换后变了，是排列（共 \(A_{10}^2 = 90\) 种）。常见错：看到“两个两个”就都当组合，忘了做交换检验。
自己试试：用 5 种不同颜色给一面旗上从左到右的 3 条竖条涂色，每条一种颜色，颜色互不相同。有几种涂法？
B。左、中、右三条位置不同，换颜色就是另一面旗，是排列：\(A_5^3=5\times4\times3=60\)。选 A 是 \(5^3\)，允许了颜色重复，题目说互不相同；选 C 是 \(C_5^3\)，只选了颜色没排位置；选 D 是把 \(5\times3\) 当成了排列数。
自己试试：\(C_{20}^{18}\) 等于？
C。\(C_{20}^{18}=C_{20}^{2}=\dfrac{20\times19}{2\times1}=190\)。选 A 是只算了 \(20\times19\)，忘了除以 \(2!\)（那是 \(A_{20}^2\)）；选 B 是把 \(C_{20}^{18}\) 当成了 \(C_{20}^{1}\)。
3. 三步破题思维链例题
典型例题：甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排照相，要求甲、乙两人必须相邻，且丙、丁两人不能相邻。一共有多少种不同的排法？
② 必须相邻的对象可看作整体 → 想到先捆绑排队，再数空位插入其余对象并核对可区分性。
• 第 2 步（排基准元素）：当前基准元素有大元 \(M\) 和无限制者戊，共 2 个元素排成一列，有 \(A_2^2 = 2\) 种排法；
• 第 3 步（产生空位插空）：2 个基准元素排好后，两侧加中间共产生 \(2 + 1 = 3\) 个空位（即 \(\_ \text{元}_1 \_ \text{元}_2 \_\)）。将丙、丁两人插入这 3 个空位中，排法有 \(A_3^2 = 3 \times 2 = 6\) 种。
$$N = A_2^2(\text{甲乙内部}) \times A_2^2(\text{基准排列}) \times A_3^2(\text{丙丁插空}) = 2 \times 2 \times 6 = 24\text{ 种}$$ 防坑：切勿先排丙丁插空，因为甲乙是捆绑大元，只占 1 个空位；若先插空容易将甲乙拆散掉入不同槽位。
自己试试：甲、乙、丙、丁、戊 5 人排成一排，甲既不站排头也不站排尾。有几种排法？
A。甲是特殊元素，先排：中间 3 个位置任选一个，3 种；其余 4 人排剩下 4 个位置，\(4!=24\)。共 \(3\times24=72\)。也可以从反面算：\(120-2\times24=72\)。选 B 是只去掉了“甲站排头”的 24 种，忘了排尾；选 D 是没管限制。
4. 三大翻车现场红绿对比卡
❌ 翻车：将 6 本不同书平均分成 3 堆，每堆 2 本，写成 \(C_6^2 C_4^2 C_2^2 = 15 \times 6 \times 1 = 90\) 种。
✔ 正确：3 堆书没有顺序、没有标签（如第一堆、第二堆），步步选出时人为赋予了堆的次序。必须除以 \(3! = 6\) 消除堆的全排列：\(\dfrac{C_6^2 C_4^2 C_2^2}{3!} = \dfrac{90}{6} = 15\) 种！只有分配给甲、乙、丙 3 个人（有主人）时才不除以 \(3!\)。
❌ 翻车：3 名男生 2 名女生排队，女生必须相邻，将女生捆绑成 1 个大元，直接算 \(A_4^4 = 24\) 种。
✔ 正确：捆绑法必须先外排再内排（或先内排再外排）！2 名女生在捆绑包内部自身有 \(A_2^2 = 2\) 种次序（左女1右女2 vs 左女2右女1），正确答案是 \(A_4^4 \times A_2^2 = 24 \times 2 = 48\) 种。
❌ 翻车：先排好 3 个男生，认为只有中间 2 个空位，算成 \(A_2^2\)。
✔ 正确：\(k\) 个元素排成一条直线，产生的空位包含两头端点和所有间隔，共有 \(k+1\) 个空位！3 个男生排好后产生 \(3+1=4\) 个空位，插 2 名女生应为 \(A_4^2 = 12\) 种。
排列 vs 组合解构天平实验室
从 4 个小球 {A, B, C, D} 中抽取小球。观察左侧排列池与右侧组合池的映射关系，直观见证组合如何通过除以 \(m!\) 将具有相同元素的排列聚类打包：
直接用
1. 计算组合数 \(C_7^3\) 的值等于：
C。代入组合数计算公式：\(C_7^3 = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = \dfrac{210}{6} = 35\)。
2. 某小组共有 6 名同学排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，则不同的排队方法共有多少种？
A。相邻用捆绑法：将甲、乙捆绑为一个整体，与其余 4 人共计 5 个元素进行全排列，排法有 \(A_5^5 = 120\) 种；甲、乙两人内部位置互换有 \(A_2^2 = 2\) 种。总数 \(N = 120 \times 2 = 240\) 种。
易错
3. 某次小型会议有 8 位专家参会，会议结束时每两位专家之间握手一次，则全体专家总共握手多少次？
D。握手属于典型的无序组合问题（甲与乙握手等同于乙与甲握手，不区分先后）。总握手次数为从 8 人中任取 2 人的组合数：\(C_8^2 = \dfrac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28\) 次。切忌错用排列数算成 56！
4. 某班级排练节目，4 名男生和 3 名女生排成一排，要求任意两名女生不能相邻排在一起，则不同的排法种数共有：
B。不相邻用插空法：
第一步：先排 4 名男生，有 \(A_4^4 = 24\) 种；
第二步：4 名男生排好后产生 \(4 + 1 = 5\) 个空位（含两端外侧）；
第三步：将 3 名女生插入这 5 个空位中，有 \(A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60\) 种；
根据分步乘法原理：\(N = 24 \times 60 = 1440\) 种。
挑战进阶
5. 6 个人排成一排，其中甲必须排在乙的前面（不一定相邻），则不同的排法共有多少种？
C。定序问题除法消序法！6 个人全排列总共有 \(A_6^6 = 720\) 种排法。在所有这些排法中，由对称性可知，“甲在乙前”与“乙在甲前”的机会完全均等，各占一半！因此排法数直接为 \(\dfrac{720}{2!} = 360\) 种。
本节高考真题
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