2023 年中科大少年班复试 · 第 6 题

解答

若 $P(x)=x^{\ast },P(y)=y^{\ast }$，则 $\alpha x^{\ast }+\beta y^{\ast }\in H$，且 $(\alpha x+\beta y)-(\alpha x^{\ast }+\beta y^{\ast })$ 对H中每个向量都正交。由投影唯一性，$P(\alpha x+\beta y)=\alpha P(x)+\beta P(y)$，所以P线性。 对任意 $h\in H$，其投影就是自身，故 $P^2=P$。若非零特征向量v满足 $P(v)=\lambda v$，则 $P^2(v)={\lambda }^{2}v$ 同时等于 $\lambda v$，所以 $\lambda (\lambda -1)=0$，即 $\boxed{\lambda \in \{0,1\}}$。 具体地，$P(v)=0$ 当且仅当 $v\in H^{\perp }$；$P(v)=v$ 当且仅当 $v\in H$。因此0对应被投影消去的垂直方向，1对应保留不变的子空间方向，其特征空间分别为 $\boxed{H^{\perp },H}$。