向量的概念与运算 · 学习路线

走 $B\to A\to D$，两段位移相加。

$\overrightarrow{BA}=-\mathbf{u}$；把它与 $\overrightarrow{AD}$ 合并。

由首尾相接，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}$。

代入 $\overrightarrow{BA}=-\mathbf{u}$，得 $\overrightarrow{BD}=-\frac{3}{5}\mathbf{u}+\frac{3}{5}\mathbf{v}$，选第二项。

也可写成 $\overrightarrow{BD}=\frac{3}{5}\overrightarrow{BC}$，故 $D$ 在线段 $BC$ 内，且 $BD:DC=3:2$，方向一致。

非退化保证 $\mathbf{u},\mathbf{v}$ 不共线，四个选项表示不同向量。原向量恒等式在退化情形仍成立，但此时不同系数可能表示同一向量，不能保证单选唯一。

先取 $BC$ 的中点 $M$，把 $\overrightarrow{AM}$ 写出来。

重心在中线 $AM$ 上，$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$；最后再从 $A$ 换到 $B$。

取 $M$ 为 $BC$ 中点，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}(\mathbf{u}+\mathbf{v})$。重心满足 $AG:GM=2:1$，所以 $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v})$。

沿 $B\to A\to G$，$\overrightarrow{BG}=-\mathbf{u}+\frac{1}{3}(\mathbf{u}+\mathbf{v})=-\frac{2}{3}\mathbf{u}+\frac{1}{3}\mathbf{v}$。

基底不共线，系数唯一，因此 $(x,y)=(-\frac{2}{3},\frac{1}{3})$，选第一项。

负的向量系数不表示 $G$ 在三角形外。取任意原点 $O$，仍有 $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$；这是三个非负且和为 $1$ 的位置权重。

重心是顶点的等权平均，内心则按对边长加权，不能混用。$\overrightarrow{BG}$ 对两个边向量的系数不要求非负，也不要求和为 $1$。非退化条件保证系数唯一；重心位置公式本身不依赖选择哪个原点。

把 $\mathbf{v}$ 换成 $2\mathbf{u}$，这里实际上只有一个方向。

$\mathbf{u}$ 非零，所以 $c\mathbf{u}=\mathbf{u}$ 等价于 $c=1$。

原式化为 $(a+2b)\mathbf{u}=\mathbf{u}$。因为 $\mathbf{u}\ne 0$，它等价于 $a+2b=1$。

令任意实数 $b=s$，则 $(a,b)=(1-2s,s)$，既证明每个解都在此直线上，也证明直线上每组数都是解。故选第四项。

例如 $(1,0)$、$(0,\frac{1}{2})$、$(-1,1)$ 表示同一向量。只有两个不共线向量作基底时，才可逐项比较系数。

$a,b$ 未限制正负或范围，不能擅自加上凸组合条件。若放宽到 $\mathbf{u}=0$，则 $\mathbf{v}=0$，每组实数 $(a,b)$ 都满足原式；本题明确排除此情形。非零共线向量仍不能构成平面基底。

先算 $\overrightarrow{AB}=(6,2)$、$\overrightarrow{AC}=(2,6)$，不要把点坐标直接线性相加当成位移。

也可算系数行列式 $\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{5}-\frac{1}{5}\cdot (-\frac{1}{5})$。判断 $Q$ 位置时，要恢复三个顶点的位置权重。

$\overrightarrow{AB}=(6,2)$、$\overrightarrow{AC}=(2,6)$，其行列式为 $36-4=32\ne 0$，故 $S_{ABC}=16$，三角形确实非退化。

$\overrightarrow{AP}=(14/5,2)$、$\overrightarrow{AQ}=(0,16/5)$，因此 $P=(19/5,1)$、$Q=(1,11/5)$。

$S_{APQ}=\frac{1}{2}|\frac{14}{5}\cdot \frac{16}{5}-2\cdot 0|=\frac{112}{25}$，所以面积比为 $\frac{112}{25}/16=\frac{7}{25}$。也等于系数行列式绝对值 $|\frac{2}{5}\frac{3}{5}-\frac{1}{5}(-\frac{1}{5})|$。

取任意原点 $O$，$\overrightarrow{OQ}=\frac{3}{5}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{5}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{5}\overrightarrow{OC}$。三个权重和为 $1$，但 $B$ 的权重为负。非退化三角形内及边上的点恰有三个非负权重，故 $Q$ 在三角形外，选第三项。

坐标也可核验：$Q$ 与 $A$ 的横坐标都是 $1$，但 $Q\ne A$；线段 $BC$ 上横坐标均至少为 $3$，所以 $Q$ 不可能位于三角形内或边上。

本题用普通面积，行列式必须取绝对值。交换 $P,Q$ 只改有向面积的符号，不改比值。非退化使面积比的分母非零，也保证位置权重唯一。权重和为 $1$ 只说明是仿射组合；还需所有权重非负才在三角形内或边上，严格为正才在内部。负的是顶点位置权重，不能与带练中 $\overrightarrow{BG}$ 的负向量系数混为一谈。