2023 年中科大少年班复试 · 第 10 题

解答

先删去所有零权重。若剩余向量数 $r\le n+1$，结论已成立；否则将向量按一组基写成实坐标，并在末尾添1，得到 $y_i=(x_i,1)$。它们位于 $n+1$ 维空间，且 $r>n+1$，故存在不全为零的实数 $c_i$，使

所以 $c_i$ 中既有正数又有负数。当前所有权重 $a_i>0$，定义 $\tau ={\min }_{c_i>0}{a}_i/c_i>0$，并令 $a_i^{\prime }=a_i-\tau c_i$。当 $c_i>0$ 时，由最小比值有 $a_i^{\prime }\ge 0$；当 $c_i\le 0$ 时也有 $a_i^{\prime }\ge a_i>0$。同时

且至少一个权重变成零。因此删掉新零权重后，同一个向量的凸组合表示严格减少了支撑数。 若剩余仍超过 $n+1$，重复以上步骤。原支撑数有限，每次严格减少，最终得到 $\boxed{\text{至多 }n+1\text{个向量的凸组合}}$。