培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录必修第二册 · 第 6 章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
既有大小又有方向的量叫向量。不仅起点不同的两个有向线段可以表示同一个向量，零向量和平行向量里也有不少初学容易踩坑的约定。
在海战演习中，指挥部收到侦察雷达报告：“距我方舰艇 \(20\text{ km}\) 处发现不明快艇！”先点下面的雷达按钮试一试：
仅凭“距我方舰艇 \(20\text{ km}\)”这一句话，拦截舰能立刻直奔目标去拦截吗？
B。只说“\(20\text{ km}\)”，目标可能在以舰艇为圆心、\(20\text{ km}\) 为半径的圆周上的任何一个位置。
在生活和物理中，有很多量像年龄、身高、质量、温度、路程那样，只有一个数值就能完全说清楚；但还有一类非常重要的量——比如位移、速度、力，不仅有大小，还有方向。没有方向，就无法确定物体的位置和运动状态。
数学中，把这种既有大小、又有方向的量叫做向量（Vector）。这一节就来建立平面向量的完整认知。
1. 先认识几个词：从“温度计”到“带箭头的位移指令”
前置知识：初中勾股定理、平行四边形性质；本节词条从 6.2 向量的运算 起天天用。先看下面这幅解剖图：
直觉微图解 ①数量 vs 向量 & 有向线段的三要素解剖
- 数量 vs 向量：像气温 \(-5^\circ\text{C}\)、质量 \(60\text{ kg}\)、路程 \(5\text{ m}\) 这样只有大小（一个实数就能说清）的量叫数量；像位移、速度、力这样既有大小又有方向的量叫向量（Vector）。
- 有向线段与记号：在线段终点画上箭头就成了有向线段（含起点、方向、长度三要素）。从起点 \(A\) 指向终点 \(B\) 记作 \(\color{#2F7A56}{\overrightarrow{AB}}\)（顶上箭头永远向右，起点在前、终点在后），也可印成黑体 \(\boldsymbol{a}\)（手写必须带箭头 \(\vec{a}\)）。
- 向量的模（长度）：向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的大小（即线段长度）叫模，记作 \(\color{#966524}{|\overrightarrow{AB}|}\) 或 \(\color{#966524}{|\boldsymbol{a}|}\)。模是一个非负实数（如上图勾股定理算出 \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{3^2+4^2}=5\)）。
2. 自由向量与相等向量：一张“与起点无关”的通用位移指令
核心直觉（藏宝图指令）：如果一张指令卡写着“向东走 3 步，向北走 4 步”，无论你是从老槐树 \(A\) 出发，还是从枯井 \(C\) 出发，执行的都是同一张位移指令！因此，数学中的向量像一张能随便拎着走的透明胶片，平移到平面任何位置，表示的都是同一个“自由向量”。
模相等：\(\color{#966524}{|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|}\)，且方向相同（指向一致）。
起点位置不影响相等。
零向量与零向量相等；零向量与非零向量不相等。
例 1（示范：网格里一眼认出相等向量）
已知 \(A(1,2)\)、\(B(4,6)\)、\(C(-2,0)\)、\(D(1,4)\)、\(E(0,0)\)、\(F(4,-3)\)、\(G(5,8)\)、\(H(2,4)\)。\(\overrightarrow{CD}\)、\(\overrightarrow{EF}\)、\(\overrightarrow{GH}\) 中哪个与 \(\overrightarrow{AB}\) 相等？
- 问两个向量相等 → 比较方向和长度，坐标题直接比较横、纵位移分量。
- 看到单位向量、零向量或相反向量 → 先看模长是否为 \(1\) 或 \(0\)；零向量没有特定方向，只有非零向量才检查方向是否相反。
• \(\color{#2F7A56}{\overrightarrow{CD}}\)：从 \((-2,0)\) 到 \((1,4)\) → 也是 右 \(3\)、上 \(4\)（模与方向全同✓）；
• \(\color{#966524}{\overrightarrow{EF}}\)：右 \(4\)、下 \(3\)（模虽为 \(5\)，但方向偏了✗）；\(\color{#B5452F}{\overrightarrow{GH}}\)：左 \(3\)、下 \(4\)（方向刚好相反✗）。
自己试试：\(A(0,0)\)、\(B(2,1)\)。下面哪个向量与 \(\overrightarrow{AB}\) 相等？
A。\(\overrightarrow{AB}\) 的指令是“右 \(2\)、上 \(1\)”；A 从 \((3,3)\) 到 \((5,4)\) 也是“右 \(2\)、上 \(1\)”，起点不同照样相等！B 是“左 \(2\)、下 \(1\)”（相反向量）；C 模也是 \(\sqrt5\)，但变成“右 \(1\)、上 \(2\)”方向不同；D 方向相同但模长翻倍了。
3. 零向量与单位向量：“原地踏步”与“单位圆上的指针”
直觉微图解 ②为什么 \(Q(1,1)\) 不是单位向量？单位向量都在哪？
- 零向量 \(\boldsymbol{0}\)（原地踏步）：模为 \(0\) 的向量（起点终点重合，如 \(\overrightarrow{MM}=\boldsymbol{0}\)）。因为站在原地没动，无法指出朝向哪个特定方向，所以规定零向量的方向是任意的！注意书写区分：数字 \(0\) 是数量，粗体 \(\boldsymbol{0}\) 是向量，且 \(|\boldsymbol{0}|=0\)。
- 单位向量（长度为 \(1\) 的指针）：模等于 \(1\) 的向量。把所有单位向量的起点都移到原点 \(O\)，它们的终点刚好铺满半径为 \(1\) 的单位圆！因此单位向量有无数个，方向各不相同，彼此不一定相等。
例 2（示范：判别单位向量与零向量）
\(O(0,0)\)、\(P(0.6,0.8)\)、\(Q(1,1)\)、\(M(2,3)\)、\(N(2,4)\)。判断 \(\overrightarrow{OP}\)、\(\overrightarrow{OQ}\)、\(\overrightarrow{MN}\)、\(\overrightarrow{MM}\) 中哪些是单位向量、哪个是零向量；再求与 \(\overrightarrow{OQ}\) 同向的单位向量终点。
- 问单位向量或零向量 → 先算模长，模为 1 或 0 才满足定义。
- 要求与某向量同向的单位向量 → 保留方向，把坐标同时除以原向量的模。
• \(|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\approx 1.41\ne 1\) → 不是单位向量✗（桶破了单位圆！）；
• \(|\overrightarrow{MN}|=1\) → 是单位向量✓（起点不在原点也算，但与 \(\overrightarrow{OP}\) 方向不同故不相等）；
• \(\overrightarrow{MM}\) 起点终点重合，模 \(=0\) → 是零向量 \(\boldsymbol{0}\)✓。
自己试试：起点是原点 \(O\)，终点 \(P\) 取下面哪个点时，\(\overrightarrow{OP}\) 是单位向量？
B。\(|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{0.6^2+(-0.8)^2}=\sqrt{0.36+0.64}=1\)。A 的模是 \(\sqrt2\)；C 把坐标相加 \(0.5+0.5=1\) 误当成了勾股模长；D 是零向量（模为 \(0\)）。
本视频题目：四个概念命题
判断真假：①单位向量都相等；②若\(|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|\)，则\(\boldsymbol a=\boldsymbol b\)；③零向量与任意向量平行；④若\(\boldsymbol a\parallel\boldsymbol b\)、\(\boldsymbol b\parallel\boldsymbol c\)，则\(\boldsymbol a\parallel\boldsymbol c\)。先自己判，再看视频核对反例与约定。
4. 平行（共线）向量与相反向量：为什么“平行”就叫“共线”？
方向相同或相反的非零向量叫平行向量（记作 \(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)）。为什么课本又把平行向量直接叫作共线向量？因为向量可以自由平移——任何两条平行的向量，一平移就能叠到同一条直线上！此外规定：零向量 \(\boldsymbol{0}\) 与任意向量平行。模相等且方向相反的两个向量互为相反向量（记作 \(-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}\)）；零向量的相反向量仍是零向量。
例 3（几何图形里认向量 —— 点按钮边看图边判别！）
平行四边形 \(ABCD\) 中，对角线 \(AC\) 与 \(BD\) 交于点 \(O\)，\(E, F\) 分别是边 \(AB, CD\) 的中点。点下方按钮切换三问图解：
自己试试：\(A(0,0)\)、\(B(2,1)\)。下面哪个向量与 \(\overrightarrow{AB}\) 不共线？
D。\(\overrightarrow{AB}\) 是“右 \(2\)、上 \(1\)”。A 是“右 \(4\)、上 \(2\)”（同向共线）；B 是“左 \(4\)、下 \(2\)”（反向共线）；C 是零向量 \(\boldsymbol{0}\)，规定与任意向量平行（共线）。只有 D“右 \(1\)、上 \(2\)”方向斜率变了，不共线。
本视频题目：正六边形中的向量
正六边形\(ABCDEF\)的中心为\(O\)，边长为\(2\)。以七个点为起点和终点，列全与\(\overrightarrow{OA}\)相等的有向线段表示（包括\(OA\)本身）；求\(|\overrightarrow{AD}|\)、\(|\overrightarrow{AC}|\)。
5. 用之前必查：平面向量三大高频翻车现场
再深一点（可以先跳过）
推门把手和推门轴，即使用力大小、方向相同，效果也一样吗？数学自由向量舍去了哪些物理信息？
展开思路与核对
物理中的“矢量”与数学中的“自由向量”：力学里，力的作用点常常不能随便移（推门把手和推门轴，效果不同）。数学里的向量只抽取出“大小”和“方向”，可以任意平移，叫自由向量。
沿直线从 \(A\) 走到 \(B\)，再原路返回 \(A\)。路程是多少？合位移及其模各是多少？
展开思路与核对
位置和位移、路程和位移的模：从 \(A\) 走到 \(B\) 再走回 \(A\)，走过的路程是 \(2|\overrightarrow{AB}|\)，合位移却是 \(\overrightarrow{AA}=\boldsymbol{0}\)。
合位移的模为 \(0\)，而非 \(2|\overrightarrow{AB}|\)。
① 拖动终点，直观感受向量的“模”与“方向”
网格每格长 \(1\)。原点 \(O(0,0)\)，向量 \(\boldsymbol{a}=\overrightarrow{OA}\)。拖动终点 \(A\)（或选中后按方向键）改变它的大小与方向；切换按钮观察“相等向量（自由平移）”与“相反向量 / 共线”。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道紧扣专题卡边界，最后一道是综合挑战。
直接用
1. 在平面直角坐标系中，向量 \(\boldsymbol{a}\) 从点 \(O(0,0)\) 指向点 \(A(3, -4)\)。求向量 \(\boldsymbol{a}\) 的模 \(|\boldsymbol{a}|\)。
A。模就是有向线段的长度，根据勾股定理 \(|\boldsymbol{a}|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\)。注意模是几何长度，恒为非负实数，不能是负数。
2. 在平行四边形 \(ABCD\) 中，对角线交于点 \(O\)。下列向量等式中正确的是？
C。平行四边形中，边 \(AD\) 与 \(BC\) 平行且长度相等；从 \(A\) 到 \(D\) 与从 \(B\) 到 \(C\) 方向相同、大小相等，所以 \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}\)。
A 项中 \(\overrightarrow{AB}\) 与 \(\overrightarrow{CD}\) 方向相反（应为 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)）；B 项中 \(\overrightarrow{AO}\) 与 \(\overrightarrow{CO}\) 也是相反向量；D 项中对角线方向不同、模长一般也不相等。
易错
3. 已知两非零向量 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\) 满足 \(|\boldsymbol{a}| = 6\)，\(|\boldsymbol{b}| = 2\)。下列说法中正确的是？
C。向量包含大小和方向两个要素，在数学中向量没有大小关系，绝对不能写 \(\boldsymbol{a} > \boldsymbol{b}\) 或 \(\boldsymbol{a} < \boldsymbol{b}\)。只有模长作为非负实数才可以比较大小。
4. 关于零向量 \(\boldsymbol{0}\)，下列判断正确的是？
B。
- A 错误：零向量没有确定的朝向，本节约定其方向任意；
- B 正确：零向量的模为 \(0\)；
- C 错误：教材明确规定，零向量与任一向量平行（\(\boldsymbol{0}\parallel\boldsymbol{a}\)）；
- D 错误：向量不能比较大小，不能说“单位向量大于零向量”，只能说单位向量的模（\(1\)）大于零向量的模（\(0\)）。
5. 已知非零向量 \(\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}\)，下列叙述中错误的是？
C。向量可以自由平移，高中数学中“平行向量”与“共线向量”是同一个概念。平行向量所在的直线可以互相平行，也可以重合，并不要求“必定在同一条直线上”，所以 C 说法错误（是要选的选项）。平移到同一起点后，因为方向相同或相反，起点和两终点三点共线，D 正确。
挑战
6. 已知四边形 \(ABCD\) 满足 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\)，且 \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|\)。则该四边形必定是？
B。由 \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) 可知，线段 \(AB\) 与 \(DC\) 平行且长度相等，因此四边形 \(ABCD\) 是平行四边形。又已知 \(|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AD}|\)，说明该平行四边形的一组邻边长度相等。邻边相等的平行四边形必为菱形（若未给出角为直角，不能判定为正方形）。
本节真题与练习
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本节精选
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先修回顾 · 初中数学
学这一节之前，需要用到下面的初中数学基础；如果觉得生疏可以先点开回顾：
- 初中 · 7.4 平移初中平移变换所决定的两个核心要素——“平移的方向”和“平移的距离”，正是高中定义既有大小又有方向的平面向量的几何原型。
一试延伸
学有余力可以接着挑战。下面的竞赛专题以这一节为先修，题目来自全国高中数学联赛、各省预赛和强基、自主招生真题。