2023 年中科大少年班复试 · 第 9 题

解答

设矩阵为A，互异特征值为 ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m$，对应非零特征向量 $v_i$。若 $\sum c_i{v}_i=0$，固定任意k，对两侧施加

这些因子都是A的多项式，互相可交换。对 $i\ne k$，乘积含因子 $A-{\lambda }_{i}I$，会消去 $v_i$；对 $v_k$，得到 ${\prod }_{j\ne k}({\lambda }_k-{\lambda }_j)v_k$。于是

全部差因子非零且 $v_k\ne 0$，所以 $c_k=0$。k任意，故所有系数都为0，证明 $\boxed{v_1,\dots ,v_m\text{线性无关}}$。