2023 年中科大少年班复试 · 第 1 题

解答

齐次方程组两式相减，得 $-4y+12z=0$，故 $y=3z,x=-4z$。其解集为

它含零向量，且任意两元素的和及任意实数倍仍为同一方向向量的实数倍；其他向量空间运算律继承自 ${\mathbb{R}}^3$，所以L是一个向量子空间。 把右端改为1、2后，相减得 $-4y+12z=1$，所以 $y=3z-1/4,x=5/4-4z$。全部解为

这是齐次方程组的解集平移所得的仿射直线，与L平行。反向任意这个形式的点均满足新方程；新解之间的差属于L。它不含零向量，所以在通常加法、数乘下不是向量子空间。