2023 年中科大少年班复试 · 第 5 题

解答

对任意 $u\in U$，唯一写成 $u={\sum }_{i=1}^n{t}_i{a}_i$。定义

因为坐标唯一，这一定义不依赖任何选择，且结果属于V。若 $u=\sum t_i{a}_i,v=\sum s_i{a}_i$，对任意标量 $\alpha ,\beta$，其线性组合的坐标为 $\alpha t_i+\beta s_i$，所以 $T(\alpha u+\beta v)=\alpha T(u)+\beta T(v)$。又各基向量的坐标直接给出 $T(a_i)=b_i$，证明存在性。 若另有线性映射S满足同一基像，则 $S(u)=\sum t_{i}S(a_i)=\sum t_i{b}_i=T(u)$，对任意u均成立。因此 $\boxed{\text{这样的线性映射存在且唯一}}$。