2023 年中科大少年班复试 · 第 8 题

解答

设旋转矩阵为R，则R为实正交矩阵，$R^{\mathsf{T}}R=I$。任取复数域上的特征值 $\lambda$ 及非零特征向量v，$Rv=\lambda v$。记星号为共轭转置，则

另一方面 $\Vert \lambda v{\Vert }^2=|\lambda {|}^2\Vert v{\Vert }^2$。因 $v\ne 0$，范数平方严格为正，可约去，得到 $\boxed{|\lambda |=1}$。