2016 年天津预赛 · 第 12 题

解答

设 $u={\lambda }_1,v={\lambda }_2/2,w={\lambda }_3/3$，则 $u,v,w\ge 0$ 且和为1。目标向量的终点为 $uU+vV+wW$，其中 $U=(1,5),V=(8,-2),W=(6,3)$。若该点坐标为 $(X,Y)$，则 $X+Y=6u+6v+9w\ge 6$，故

取 $u=5/7,v=2/7,w=0$，点恰为 $(3,3)$，达到等号。对应 ${\lambda }_1=5/7,{\lambda }_2=4/7,{\lambda }_3=0$，均符合原条件。因此最小值为 $\boxed{3\sqrt{2}}$。