2016 年中科大少年班初试 · 第 2 题

解答

记 $w=\overline{z_1}/z_2$，显然 $|w|=2/3$。为说明整圆都能达到，先取 $z_1=2,z_2=3e^{i\phi }$，其中 $\cos \phi =1/4$，则 $|z_1+z_2{|}^2=4+9+12\cos \phi =16$。对这对数同时乘 $e^{it}$，三个已知模保持不变，但商变成 $e^{-2it}w$。随 $t$ 遍历实数，商遍历模为 $2/3$ 的整圆。因此全部可能值是 $\boxed{\{w\in \mathbb{C}:|w|=2/3\}}$。