2017 年辽宁预赛 · 第 7 题

解答

因 $z^3-3z-2=(z-2)(z+1{)}^2$，设 $x=\Re z\in [-1,1]$，则 $|z-2{|}^2=5-4x,|z+1{|}^2=2+2x$。故所求模平方为 $F(x)=4(5-4x)(1+x{)}^2$，其导数 $F^{\prime }(x)=24(1+x)(1-2x)$。它在 $[-1,1/2]$ 递增、在 $[1/2,1]$ 递减，最大值为 $F(1/2)=27$。因此所求最大模为 $\boxed{3\sqrt{3}}$。