2023 年中科大少年班初试 · 第 1 题

解答

设 $r=|z|,x=\Re z$。原方程排除 $z=0$，故 $r>0$。由 $z^{2023}=z+1$ 得 $r^{4046}=|z+1{|}^2=r^2+2x+1$，即 $2x+1=r^2(r^{4044}-1)$。因 $r^2>0$，且 $r^{4044}-1$ 与 $r-1$ 同号，所以 $x\le -1/2$ 当且仅当 $r\le 1$，这就是所需的 $\boxed{|z|\le 1⟺\Re z\le -1/2}$。