2015 年安徽预赛 · 第 7 题

解答

原分式要求 $z\ne 1$。有 $\Re ((z-i)/(1-z))=(x-x^2-y^2+y)/((1-x{)}^2+y^2)$，故非负条件等价于 $(x-1/2{)}^2+(y-1/2{)}^2\le 1/2$，但须删掉 $(1,0)$。再与 $y\ge 0$ 联立，得到圆心 $(1/2,1/2)$、半径 $1/\sqrt{2}$ 的圆盘在横轴上方的部分。整个圆盘面积为 $\pi /2$。下方小弓形的圆心角为 $\pi /2$，面积为扇形减三角形，即 $\pi /8-1/4$。所求面积为 $\pi /2-(\pi /8-1/4)=\boxed{3\pi /8+1/4}$。