2014 年安徽预赛 · 第 6 题

解答

原式要求 $z\ne 0$。令 $r=|z|>0$，逆三角不等式给 $|r-1/r|\le |z+1/z|\le 2$。因为 $r>0$，这等价于 $r^2-2r-1\le 0$ 且 $r^2+2r-1\ge 0$，即 $\sqrt{2}-1\le r\le \sqrt{2}+1$。反之，对区间内任意 $r$ 取 $z=ir$，则 $|z+1/z|=|r-1/r|\le 2$，故全部可实现。答案为 $\boxed{[\sqrt{2}-1,\sqrt{2}+1]}$。