2016 年河北预赛 · 第 2 题

解答

由 $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2$ 得 $AB\perp BC$；由 $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$ 得 $AB\perp AD$。再用 $BC\perp AD$，可取正交坐标 $A=(0,0,0),B=(1,0,0),C=(1,1,0),D=(0,0,1)$。与 $A,B,D$ 等距的球心满足 $x=z=1/2$，再与 $C$ 等距得 $x+y=1$，故球心为 $(1/2,1/2,1/2)$，半径 $R=\sqrt{3}/2$。所以 $\boxed{V=4\pi R^3/3=\pi \sqrt{3}/2}$。