2018 年河北预赛（高二卷） · 第 6 题

解答

展开后每个小三角形边长为 $4,5,6$，折合时三外顶点成为同一顶点，所以三组对棱分别为 $4,5,6$。这样的四面体可设四点为 $(x,y,z),(x,-y,-z),(-x,y,-z),(-x,-y,z)$。选对棱对应后有 $4(x^2+y^2)=16,4(x^2+z^2)=25,4(y^2+z^2)=36$，解得 $x^2=5/8,y^2=27/8,z^2=45/8$。四点关于原点等距，故外接球半径平方为 $R^2=x^2+y^2+z^2=77/8$，表面积为 $\boxed{4\pi R^2=77\pi /2}$。