2017 年陕西预赛 · 第 6 题

解答

取 $A=(0,0,0)$，沿三条邻棱为坐标轴，则 $P=(1/2,0,0),Q=(0,1/2,0),R=(0,0,1/2)$，底面法向为 $(1,1,1)$。另三点必由共同平移 $t(1,1,1)$ 得到。它们在单位立方体内要求 $0\le t\le 1/2$；若 $0<t<1/2$，每点的三个坐标均严格在零与一之间，不在表面。$t=0$ 为零高退化柱，故只能 $t=1/2$。底面边长 $1/\sqrt{2}$，面积 $\sqrt{3}/8$，柱高 $\sqrt{3}/2$，从而 $\boxed{V=3/16}$，选 C。