2016 年辽宁预赛 · 第 8 题

解答

相似缩放并选正交坐标，使正四面体四顶点为 $v_1=(1,1,1),v_2=(1,-1,-1),v_3=(-1,1,-1),v_4=(-1,-1,1)$。先固定 $v_4$ 为距离较大的顶点。任取 $s_1,s_2,s_3\in \{-1,1\},s_4\in \{-\sqrt{2},\sqrt{2}\}$，令 $n=({\sum }_i{s}_i{v}_i)/4$、$m=({\sum }_i{s}_i)/4$。因 $v_i\cdot v_i=3,v_i\cdot v_j=-1(i\ne j)$，仿射式 $L(X)=n\cdot X+m$ 在四顶点恰取值 $s_i$。它不可能为常数，否则四值应相同，与绝对值不同矛盾；故 $n\ne 0$，$L=0$ 是真平面，各顶点距离为 $|s_i|/|n|$，正好具有题定比值。反之，任何合法平面的有向距离除以共同较小距离，就给上述某个符号组。两组得到相同平面只会是全部同号或全部反号，因为两个平面式成非零比例，而三处绝对值均固定为一。因此每个较大距离顶点对应 $2^4/2=8$ 张平面。该顶点共有四种选择且不同选择不重叠，所以总数为 $\boxed{4\cdot 8=32}$。