2008 年天津预赛 · 第 11 题

如图，设 $S-ABCD$ 是一个高为 $3$ 的四棱锥，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，顶点 $S$ 在底面上的射影是正方形 $ABCD$ 的中心。$K$ 是棱 $SC$ 的中点，过 $AK$ 作平面与线段 $SB,SD$ 分别交于 $M,N$（$M,N$ 可以是线段的端点）。

1. (1)

   求直线 $AK$ 与平面 $SBC$ 所成角的正弦值；

2. (2)

   求证：$\frac{V_{S-MKN}}{V_{S-BCD}}=\frac{SM\cdot SK\cdot SN}{SB\cdot SC\cdot SD}$，并求当 $M$ 是 $SB$ 中点时四棱锥 $S-AMKN$ 的体积。