2009 年安徽预赛 · 第 7 题

解答

设 $O$ 为 $P$ 到 $\alpha$ 的垂足。由勾股定理，$OB=\sqrt{b^2-h^2}$，$OC=\sqrt{c^2-h^2}$。$\angle PBA=90^{\circ }$ 给 $AB=\sqrt{a^2-b^2}$，且因 $AB$ 在 $\alpha$ 内，$AB\perp OB$；当 $B=O$ 时它同样为过 $O$ 的任意合法方向。故直线 $AB$ 到 $O$ 的距离为 $\sqrt{b^2-h^2}$。点 $C$ 在以 $O$ 为心、半径 $\sqrt{c^2-h^2}$ 的圆上，到 $AB$ 的最大距离为两个量之和，并能在远侧径向点达到。因此 $\boxed{S_{\max }=\frac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2}\left(\sqrt{b^2-h^2}+\sqrt{c^2-h^2}\right)}$。