培玉 · 一试
2009 年湖北预赛 · 第 5 题
F3填空题立体几何基础知识
已知正方体 的棱长为 ， 为底面 的中心， 分别是棱 和 的中点，则四面体 的体积为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
将立方体的三个邻棱作为正交轴，全部中点坐标确定后只需一个混合积。
解答
取 。于是 。从 出发的三向量为 ，行列式等于 。所以四面体体积为 。
复核
混合积先取绝对值再除六，负号只表示顶点排列方向。点 在上表面相应棱中点， 在竖棱中点，未互换中点所属棱。
方法总结
三维坐标下四面体体积是三条共起点边的标量三重积绝对值的六分之一。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
需按原立方体标号准确还原三个特殊点坐标，再以同起点三向量求体积，处理行列式方向及六分之一因子。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：行列式与面积、体积比
已记下，谢谢！