2008 年湖北预赛 · 第 4 题

解答

由 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0$ 得 $O=(A+B+C)/3$，即底面正三角形的中心。底边一，所以 $OA=1/\sqrt{3}$，这也是外接球半径。正三棱锥顶点 $P$ 在过 $O$ 的底面垂线上，又 $OP=OA$，故锥高为 $1/\sqrt{3}$。因此 $\boxed{V=(\sqrt{3}/4)(1/\sqrt{3})/3=1/12}$。