易混 2017 年辽宁预赛 第 2 题 · P010699
表面积都可写成三棱两两乘积之和，但附加关系决定了还剩多少自由度：等比条件能用中间项和倒数公比压缩三棱，另一个问题则要保留其余两棱的实根条件。
前题求总棱长，不必分别解出长短两棱；后题求夹角极值，要确认最短候选棱能配出另外两条正棱，不能照搬等比假设。
培玉 · 一试
2015 年山西预赛 · 第 4 题
F2填空题立体几何基础知识
一个长方体的体积为 ，全面积为 ，若其长、宽、高成等比数列，则此长方体全部棱长之和为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用中间棱长与公比表示三条边；体积先定中间值，表面积再定公比与倒数的和。
解答
设三边依次为 ，其中 。由体积得 ，所以 。全面积为 ，即 。故三边长之和是 ，全部十二条棱长之和为 。
复核
公比为 ，均为正；两种顺序只交换最长与最短边，体积、表面积和总棱长都相同。
方法总结
等比边长的乘积固定时，优先以中间项作为共同尺度，避免分别解三个边长。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
把三条正边表示为等比参数，先由乘积确定中间项，再由两两乘积和直接求所需总和。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：设首项和公差（公比）
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