2008 年河南预赛 · 第 3 题

解答

设 $AO=h>0$，$O$ 到底面三条边的距离依次为 $d_1,d_2,d_3$。因 $O$ 在底面内部，各距离正。以一条底边为例，过 $AO$ 作垂直该边的截面；其与侧面的交线是连接 $A$ 与底边垂足的直线。由直角三角形底高关系，$O$ 到该侧面距离为 $h{d}_i/\sqrt{h^2+d_i^2}$。函数 $d\mapsto hd/\sqrt{h^2+d^2}$ 在正域严格递增，所以三侧面等距迫 $d_1=d_2=d_3$。底面内部到三边等距的点恰为内心，故选 $\boxed{\mathrm{C}}$。