2012 年陕西预赛 · 第 5 题

解答

设正四面体棱长为一，底面中心为 $O$。有 $OB=OC=1/\sqrt{3}$，$\angle BOC=120^{\circ }$，故 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=-1/6$；高 $AO=\sqrt{2/3}$。令 $MO=z\ge 0$，则 $\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{MC}=z^2-1/6$。题设直角给 $z=1/\sqrt{6}$，而 $AO=2/\sqrt{6}$，所以 $\boxed{AM/MO=1}$。