2010 年黑龙江预赛

设集合 $A=\{(x,y)\mid y^2=8x,x\in \mathbb{R}\}$，$B=\{(x,y)\mid y=x^2,x\in \mathbb{R}\}$，则 $A\cap B=$（ ）.

1. (A)

   $[0,+\infty )$

2. (B)

   $\{(0,0),(2,4)\}$

3. (C)

   $\{0,2\}$

4. (D)

   $\{(0,0),(1,2\sqrt{2})\}$

已知复数 $z_1=m+2i$，$z_2=3-4i$，若 $\frac{z_1}{z_2}$ 为实数，则实数 $m$ 的值为（ ）.

1. (A)

   $\frac{8}{3}$

2. (B)

   $\frac{3}{2}$

3. (C)

   $-\frac{8}{3}$

4. (D)

   $-\frac{3}{2}$

与圆 $(x-2{)}^2+y^2=1$ 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（ ）.

1. (A)

   $2$ 条

2. (B)

   $3$ 条

3. (C)

   $4$ 条

4. (D)

   $6$ 条

已知 $a^2+b^2=1$，且 $c<a+b$ 恒成立，则 $c$ 的取值范围是（ ）.

1. (A)

   $(-\infty ,-2)$

2. (B)

   $(-\infty ,-\sqrt{2})$

3. (C)

   $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

4. (D)

   $(-\infty ,\sqrt{2})$

当 $x,y$ 满足条件 $|x|+|y|\le 1$ 时，变量 $z=x-y+2$ 的取值范围是（ ）.

1. (A)

   $[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}]$

2. (B)

   $(1,3)$

3. (C)

   $[1,3]$

4. (D)

   $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$

如图是一个程序框图，则输出结果为（ ）.

1. (A)

   $\sqrt{8}-1$

2. (B)

   $\sqrt{9}-1$

3. (C)

   $\sqrt{10}-1$

4. (D)

   $\sqrt{11}-1$

已知抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F$，准线与 $x$ 轴的交点为 $K$，点 $A$ 在 $C$ 上且 $|AK|=\sqrt{2}|AF|$，则 $△AFK$ 的面积为（ ）.

1. (A)

   $4$

2. (B)

   $8$

3. (C)

   $16$

4. (D)

   $32$

设 $f(x)$ 是连续的偶函数，且当 $x>0$ 时 $f(x)$ 是严格单调函数，满足 $f(x)=f\left(\frac{x+3}{x+4}\right)$ 的所有 $x$ 之和为（ ）.

1. (A)

   $-3$

2. (B)

   $-8$

3. (C)

   $3$

4. (D)

   $8$

若把函数 $y=\sqrt{3}\cos x-\sin x$ 的图象向右平移 $m$（$m>0$）个单位长度后，所得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是（ ）.

1. (A)

   $\frac{\pi }{3}$

2. (B)

   $\frac{2\pi }{3}$

3. (C)

   $\frac{\pi }{6}$

4. (D)

   $\frac{5\pi }{6}$

将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 $m$ 和 $n$，则函数 $y=\frac{2}{3}m{x}^3-nx+1$ 在 $[1,+\infty )$ 上为增函数的概率是（ ）.

1. (A)

   $\frac{1}{2}$

2. (B)

   $\frac{2}{3}$

3. (C)

   $\frac{3}{4}$

4. (D)

   $\frac{5}{6}$

空间中一点 $P$ 到三条两两垂直的射线 $OA,OB,OC$ 的距离分别为 $\sqrt{3},2,\sqrt{5}$，且垂足分别为 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$，则三棱锥 $P-A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ 的体积为（ ）.

1. (A)

   $\sqrt{5}$

2. (B)

   $\frac{\sqrt{6}}{2}$

3. (C)

   $\sqrt{3}$

4. (D)

   $\frac{\sqrt{6}}{3}$

已知集合 $M=\{1,2,3\}$，$N=\{1,2,3,4\}$，定义函数 $f:M\to N$ 且点 $A(1,f(1))$，$B(2,f(2))$，$C(3,f(3))$。若 $△ABC$ 的内切圆圆心为 $D$，且 $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\lambda \overrightarrow{DB}$（$\lambda \in \mathbb{R}$），则满足条件的函数有（ ）.

1. (A)

   $12$ 个

2. (B)

   $10$ 个

3. (C)

   $6$ 个

4. (D)

   $16$ 个

若二项式 ${\left(a\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^6$ 的展开式中的常数项为 $-160$，则 ${\int }_0^a(3x^2-1)dx=\underline{}$。

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}(3-a)x-3,& x\le 7,\\ a^{x-6},& x>7,\end{array}$，数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=f(n)$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，且数列 $\{a_n\}$ 是递增数列，则实数 $a$ 的取值范围是。

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的右焦点为 $F$，过 $F$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线与双曲线交于 $M$，垂足为 $N$。若 $|FN|=a$，且 $\overrightarrow{FM}=\lambda \overrightarrow{MN}$，则 $\lambda =$。

一个球与一个正三棱柱的三个侧面及两个底面都相切，若该球的体积为 $\frac{32\pi }{3}$，则该三棱柱的体积是
。

（10分）设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $a\cos C+\frac{1}{2}c=b$。

1. (1)

   求角 $A$ 的大小；

2. (2)

   若 $a=1$，求 $△ABC$ 内切圆半径 $R$ 的最大值。

（12分）为了调查全市学生的数学高考成绩，随机地抽取某中学甲、乙两班各 $10$ 名同学，获得成绩数据如下（单位：分）：
甲：$132,108,112,121,113,121,118,128,118,129$；
乙：$133,107,120,113,122,114,128,118,129,127$。

1. (1)

   画出甲、乙两班学生数学成绩的茎叶图，并根据茎叶图判断哪个班的平均水平较高。

2. (2)

   若数学成绩不低于 $120$ 分则称为“优秀”，求从这 $20$ 名学生中随机选取 $3$ 人，至多有 $1$ 人是“优秀”的概率。

3. (3)

   以这 $20$ 人的样本数据来估计整个学校的总体成绩，若从该校（人数很多）任选 $3$ 人，记 $\xi$ 表示抽到“优秀”学生的人数，求 $\xi$ 的分布列及数学期望。

（12分）已知数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=4$，前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{n+1}-3S_n-2n-4=0$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$）。

1. (1)

   求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

2. (2)

   设函数 $f(x)=a_{n}x+a_{n-1}{x}^2+\cdots +a_1{x}^n$，$f^{\prime }(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数，令 $b_n=f^{\prime }(1)$，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式，并研究其单调性。

（12分）如图，$△ABC$ 内接于 $\odot O$，$AB=AC$，直线 $MN$ 切 $\odot O$ 于点 $C$，弦 $BD\Vert MN$，$AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$。

1. (1)

   求证：$△ABE\cong △ACD$；

2. (2)

   若 $AB=6,BC=4$，求 $AE$。

（12分）已知定点 $A(1,0)$ 和定直线 $x=-1$ 上的两个动点 $E,F$，满足 $\overrightarrow{AE}\perp \overrightarrow{AF}$，动点 $P$ 满足 $\overrightarrow{EP}\Vert \overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{FO}\Vert \overrightarrow{OP}$（其中 $O$ 为坐标原点）。

1. (1)

   求动点 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

2. (2)

   过点 $B(0,2)$ 的直线 $l$ 与（1）中轨迹 $C$ 相交于两个不同的点 $M,N$，若 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{AN}<0$，求直线 $l$ 的斜率的取值范围。

（12分）已知函数 $f(x)=\frac{\ln x}{x}-1$。

1. (1)

   试判断函数 $f(x)$ 的单调性；

2. (2)

   设 $m>0$，求 $f(x)$ 在 $[m,2m]$ 上的最大值；

3. (3)

   试证明：对 $\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，不等式 $\ln {\left(\frac{1+n}{n}\right)}^e<\frac{1+n}{n}$ 成立。