培玉 · 一试

2017 年黑龙江预赛

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第 1 题

下列命题正确的有（　　）。

①
很小的实数可以构成集合；
②
集合 ${y ∣ y = x^{2} - 1}$ 与集合 ${(x, y) ∣ y = x^{2} - 1}$ 是同一个集合；
③
$1, \frac{3}{2}, \frac{6}{4}, - \frac{1}{2}, 0.5$ 这些数构成的集合有 $5$ 个元素；
④
集合 ${(x, y) ∣ x y \leq 0, x, y \in R}$ 是指第二、第四象限内的点集。

(A) $0$ 个 (B) $1$ 个 (C) $2$ 个 (D) $3$ 个

第 2 题

复数

z = \frac{( 2 + i ) ^{2}}{1 - i} (i 为虚数单位)

在复平面上对应的点位于（　　）。

(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

第 3 题

若方程 $a^{x} - x - a = 0$ 有两个实数解，则 $a$ 的取值范围是（　　）。

(A) $(1, + \infty)$ (B) $(0, 1)$ (C) $(0, 2)$ (D) $(0, + \infty)$

第 4 题

已知 $tan α = - \frac{1}{2}$ ，则

\frac{sin 2 α + 2 cos 2 α}{4 cos 2 α - 4 sin 2 α}

的值是（　　）。

(A) $\frac{5}{2}$ (B) $- \frac{5}{2}$ (C) $\frac{1}{14}$ (D) $- \frac{1}{14}$

第 5 题

已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，以后各项由公式

a_{n} = a_{n - 1} + \frac{1}{n ( n - 1 )} (n \geq 2, n \in N_{+})

给出，则 $a_{4} =$ （　　）。

(A) $\frac{7}{4}$ (B) $- \frac{7}{4}$ (C) $\frac{4}{7}$ (D) $- \frac{4}{7}$

第 6 题

方程为

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > b > 0)

的椭圆左顶点为 $A$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ， $D$ 是它的短轴上的一个顶点。若 $3 D F_{1} = D A + 2 D F_{2}$ ，则该椭圆的离心率为（　　）。

(A) $\frac{1}{2}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{1}{4}$ (D) $\frac{1}{5}$

第 7 题

函数 $y = tan ω x$ （ $ω > 0$ ）与直线 $y = a$ 相交于 $A, B$ 两点，且 $∣ A B ∣$ 最小值为 $π$ ，则函数 $f (x) = 3 sin ω x - cos ω x$ 的单调增区间是（　　）。

(A) $[2 kπ - \frac{π}{6}, 2 kπ + \frac{π}{6}]$ (B) $[2 kπ - \frac{π}{3}, 2 kπ + \frac{2 π}{3}]$

其中 $k \in Z$ 。

第 8 题

形如 $45132$ 这样的数称为“波浪数”，即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由 $1, 2, 3, 4, 5$ 可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为（　　）。

(A) $20$ (B) $18$ (C) $16$ (D) $11$

第 9 题

已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 在第二象限的交点为 $P$ 。若双曲线的离心率为 $5$ ，则 $cos ∠ P F_{2} F_{1}$ 等于（　　）。

(A) $\frac{3}{5}$ (B) $\frac{3}{4}$ (C) $\frac{4}{5}$ (D) $\frac{5}{6}$

第 10 题

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（　　）。

(A) 外接球的半径为 $\frac{3}{3}$ (B) 体积为 $3$

第 11 题

如果实数 $x, y$ 满足

⎩ ⎨ ⎧ x - 4 y + 3 \leq 0, 3 x + 5 y - 25 \leq 0, x \geq 1,

且目标函数 $z = k x + y$ 的最大值为 $12$ 、最小值为 $3$ ，那么实数 $k$ 的值为（　　）。

(A) $2$ (B) $- 2$ (C) $\frac{1}{5}$ (D) 不存在

第 12 题

已知函数 $f (x) = 9^{x} - m \cdot 3^{x} + m + 1$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 的图象恒在 $x$ 轴上方，则 $m$ 的取值范围是（　　）。

(A) $2 - 22 < m < 2 + 22$ (B) $m < 2$

第 13 题

已知 $a$ 和 $b$ 的夹角为 $12 0^{\circ}$ ，且 $∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 5$ ，则

(2 a - b) \cdot a = .

第 14 题

抛物线 $y^{2} = a x$ （ $a > 0$ ）与直线 $x = 1$ 围成的封闭图形的面积为 $\frac{4}{3}$ ，则二项式

(x + \frac{a}{x})^{20}

展开式中含 $x^{- 18}$ 项的系数是。

第 15 题

某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 $s$ 值为。

本站根据本地题目汇编中的题图自行重绘，未核对官方试卷原图。

第 16 题

下面给出一个“直角三角形数阵”：

\frac{1}{4} \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \frac{3}{4}, \frac{3}{8}, \frac{3}{16} ⋮

满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等。记第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{ij}$ （ $i \geq j, i, j \in N_{+}$ ），则 $a_{n 3} =$ 。

第 17 题

如图，已知 $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 是切点，直线 $PO$ 交 $⊙ O$ 于 $B, C$ 两点， $D$ 是 $OC$ 的中点，连接 $A D$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $E$ 。若 $P A = 23$ ， $∠ A PB = 3 0^{\circ}$ 。

(1)
求 $∠ A EC$ 的大小；
(2)
求 $A E$ 的长。

第 18 题

已知向量

m = (sin A, cos A), n = (cos B, sin B), m \cdot n = sin 2 C,

且 $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 分别是 $△ A BC$ 三边 $a, b, c$ 所对的角。

(1)
求 $∠ C$ 的大小；
(2)
若 $sin A, sin C, sin B$ 成等比数列，且 $C A \cdot CB = 18$ ，求 $c$ 的值。

第 19 题

如图，在直三棱柱 $A BC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 5$ ， $D, E$ 分别为 $BC, B B_{1}$ 的中点，四边形 $B_{1} BC C_{1}$ 是边长为 $6$ 的正方形。

(1)
求证： $A_{1} B ∥$ 平面 $A C_{1} D$ ；
(2)
求证： $CE ⊥$ 平面 $A C_{1} D$ ；
(3)
求二面角 $C - A C_{1} - D$ 的余弦值。

第 20 题

某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况如下表。现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取 $3$ 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查。

	男	女
甲科室	6	4
乙科室	3	2

(1)
求从甲、乙两科室各抽取的人数；
(2)
求从甲科室抽取的工作人员中至少有 $1$ 名女性的概率；
(3)
记 $ξ$ 表示抽取的 $3$ 名工作人员中男性的人数，求 $ξ$ 的分布列及数学期望。

第 21 题

已知抛物线 $G$ 的顶点在原点，焦点在 $y$ 轴正半轴上，点 $P (m, 4)$ 到其准线的距离等于 $5$ 。

(1)
求抛物线 $G$ 的方程；
(2)
如图，过抛物线 $G$ 的焦点的直线依次与抛物线 $G$ 及圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 交于 $A, C, D, B$ 四点，试证明 $∣ A C ∣ \cdot ∣ B D ∣$ 为定值；
(3)
过 $A, B$ 分别作抛物线 $G$ 的切线 $l_{1}, l_{2}$ ，且 $l_{1}, l_{2}$ 交于点 $M$ ，试求 $△ A CM$ 与 $△ B D M$ 面积之和的最小值。

第 22 题

已知函数 $f (x) = a x - 1 - ln x$ （ $a \in R$ ）。

(1)
讨论函数 $f (x)$ 在定义域内的极值点的个数；
(2)
若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极值，对任意 $x \in (0, + \infty)$ ， $f (x) \geq b x - 2$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围；
(3)
当 $x > y > e - 1$ ，证明：
$e^{x - y} > \frac{ln ( x + 1 )}{ln ( y + 1 )} 。$