高考压轴

• 题目要比较前后两个条件，先分别写成“若前者则后者”与“若后者则前者”。
• 第二个条件只说明绝对值可以超过任意给定实数，留意它没有说明函数取遍正负两侧。
• 按充分条件、必要条件的定义逐向判断；反向可试用指数函数作反例。

1. 先判充分性若值域为 \(\mathrm R\)，对任意 \(M\in\mathrm R\) 都能取到 \(f(x_0)=|M|+1\)，于是 \(|f(x_0)|>M\)。所以前者能推出后者。
2. 再查必要性取 \(f(x)=\mathrm e^x\)，它的绝对值无上界，满足后者，但值域只有 \((0,+\infty)\)，不是 \(\mathrm R\)。反向推不回前者。

答案：A，充分不必要条件。

回头检验：把 \(M\) 取成负数时不影响充分性的判断；反例 \(f(x)=\mathrm e^x\) 的值域确实不是全体实数。

容易错在：只看到“能超过任意数”就误认为值域一定是全体实数。

• 先找出由奇函数得到的零点，再判断 \(f(t)\) 在各区间的正负。
• 不等式中的函数自变量是 \(x-1\)，并且乘积的另一个因子 \(x\) 会改变符号。
• 用奇函数和单调性列符号表，分 \(x<0\)、\(x=0\)、\(x>0\) 讨论。

1. 确定函数符号奇函数给出 \(f(0)=0\)，又由 \(f(2)=0\) 得 \(f(-2)=0\)。负半轴递减，所以 \(f(t)>0\) 在 \((-\infty,-2)\)，\(f(t)<0\) 在 \((-2,0)\)；由奇性可得正半轴对应符号。
2. 代入乘积当 \(x<0\) 时需 \(f(x-1)\le0\)，得到 \(-1\le x<0\)；当 \(x>0\) 时需 \(f(x-1)\ge0\)，得到 \(1\le x\le3\)，并补上 \(x=0\)。

答案：D，\([-1,0]\cup[1,3]\)。

回头检验：端点 \(x=-1,0,1,3\) 使乘积为零或恰好落在零点，均应保留。

容易错在：把奇函数在正半轴的符号照搬负半轴，或忘记自变量是 \(x-1\)。

• 先用 \(0\in A\) 和 \(A\subseteq B\)，确定参数只有哪些候选。
• 候选还要使 \(-a\) 也属于 \(B\)；不要只验一个元素。

1. 固定元素先缩小范围因为 \(0\in A\subseteq B\)，且 \(1\ne0\)，所以 \(a-2=0\) 或 \(2a-2=0\)。候选是 \(a=2\) 或 \(a=1\)。
2. 逐个候选代回当 \(a=2\) 时，\(A=\{0,-2\}\)，\(B=\{1,0,2\}\)，\(-2\notin B\)，排除。当 \(a=1\) 时，\(A=\{0,-1\}\)，\(B=\{1,-1,0\}\)，包含成立。

答案：B，\(a=1\)。

回头检验：若 \(a=0\)，原列举式 \(A=\{0,0\}\) 与 \(B=\{1,-2,-2\}\) 均出现重复元素，违背互异性，必须舍去。候选参数还须逐项检验包含关系。

容易错在：把必要条件当成充分条件，只验了固定元素就停笔。

• 分别记题目前后两句话为 \(P,Q\)，把 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(Q\Rightarrow P\) 分开判断。
• 平方会丢掉符号；用一个简单角度组合检查反向推理。

1. 证明必要性记 \(P:\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，\(Q:\sin\alpha+\cos\beta=0\)。由 \(Q\) 得 \(\sin\alpha=-\cos\beta\)，平方后 \(\sin^2\alpha=\cos^2\beta=1-\sin^2\beta\)，所以 \(Q\Rightarrow P\)。
2. 反例否定充分性取 \(\alpha=\pi/2,\beta=0\)，则 \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，但 \(\sin\alpha+\cos\beta=2\ne0\)。故 \(P\) 成立不能保证 \(Q\)。

答案：B，必要条件但不是充分条件。

回头检验：条件 \(P\) 等价于 \(|\sin\alpha|=|\cos\beta|\)，只控制绝对值；\(Q\) 还要求两者互为相反数。

容易错在：只看到平方后的等式相同，就把两个方向都判为成立。

• 已知解析式只在 \([2,3]\) 有效，先把目标自变量移进这一区间。
• 偶性负责反射，周期负责平移；每一步都写出函数值相等。

1. 先反射再平移由偶性及周期为 2，\(f(-3/4)=f(3/4)=f(3/4+2)=f(11/4)\)。
2. 在已知区间代入因为 \(11/4\in[2,3]\)，所以 \(f(11/4)=5-2\cdot11/4=-1/2\)。

答案：A，\(-1/2\)。

回头检验：另一条合法路径是 \(-3/4\to5/4\to-5/4\to11/4\)，结果相同。不能直接把 \(-3/4\) 代入只在 \([2,3]\) 成立的解析式。

容易错在：把局部解析式当成全实数解析式，或把周期 2 误用为周期 1。

• 把 \(f(x+2)\) 为偶函数写成 \(f(2+t)=f(2-t)\)。
• 把 \(f(2x+1)\) 为奇函数换元到以 1 为中心的关系，先找必为零的点。

1. 换元写原函数的关系由两条奇偶性可得，对任意实数 \(u\)，\(f(4-u)=f(u)\)，\(f(2-u)=-f(u)\)。第二式取 \(u=1\)，得 \(f(1)=0\)。
2. 把零值转移到选项第一式取 \(u=1\)，得 \(f(3)=f(1)=0\)。第二式取 \(u=3\)，得 \(f(-1)=-f(3)=0\)，所以 B 必成立。
3. 反例核对其他选项取 \(f(u)=\sin[\pi(u-1)/2]\)。此时 \(f(x+2)=\cos(\pi x/2)\) 为偶函数，\(f(2x+1)=\sin(\pi x)\) 为奇函数；而 \(f(-1/2)=-\sqrt2/2\)，\(f(2)=1\)，\(f(4)=-1\)，其余选项均不一定成立。

答案：B，\(f(-1)=0\)。

回头检验：原函数的反射中心分别是 2 与 1。伸缩 \(2x+1\) 中的系数 2 不会把原函数的中心移到 \(1/2\)。

容易错在：直接把变换后的函数的奇偶中心当成原函数的原点，或换元时漏掉伸缩。

• 用 \(x=1,y=0\) 先确定初值，再固定 \(y=1\)。
• 不要急着猜三角函数；整数点的两项初值和递推式已经足够求和。

1. 确定整数递推取 \(x=1,y=0\)，由 \(f(1)=1\) 得 \(2=f(0)\)。再固定 \(y=1\)，得到 \(f(x+1)=f(x)-f(x-1)\)。令 \(a_n=f(n)\)，则 \(a_0=2,a_1=1\)，且 \(a_{n+1}=a_n-a_{n-1}\)。
2. 证明六项重复依次得 \(a_1,\ldots,a_6=1,-1,-2,-1,1,2\)，再算得 \(a_7=1\)。\((a_6,a_7)=(a_0,a_1)\)，同一递推由相邻两项唯一决定后续各项，所以整数点每六项重复，每组六项和为零。
3. 整组加余项\(22=3\cdot6+4\)，所以 \(\sum_{k=1}^{22}f(k)=3\cdot0+(1-1-2-1)=-3\)。

答案：A，\(-3\)。

回头检验：可用满足原恒等式的特例 \(f(x)=2\cos(\pi x/3)\) 检验整数值；一般证明仍用递推，不能用这个特例代替。

容易错在：看到几个重复数就断言周期，未检查一对相邻初值重新出现；把 22 项余项数算错。

• 依次试 \((x,y)=(0,0),(1,1),(-1,-1)\)，再固定 \(y=-1\)。
• 题设没有连续或可导条件。要排除极小值结论，构造一个全实数上满足恒等式的函数即可。

1. 零点与对称性取 \(x=y=0\) 得 \(f(0)=0\)；取 \(x=y=1\) 得 \(f(1)=2f(1)\)，故 \(f(1)=0\)；取 \(x=y=-1\) 得 \(f(-1)=0\)。固定 \(y=-1\)，有 \(f(-x)=f(x)+x^2f(-1)=f(x)\)。因此 A、B、C 都成立。
2. 构造并验证反例定义 \(F(0)=0\)，当 \(x\ne0\) 时 \(F(x)=x^2\ln|x|\)。当 \(xy\ne0\) 时，由 \(\ln|xy|=\ln|x|+\ln|y|\) 得 \(F(xy)=y^2F(x)+x^2F(y)\)；当任一变量为 0 时，两边也都为 0，所以它满足全部题设。
3. 检查反例附近的符号当 \(0<|x|<1\) 时，\(F(x)<0=F(0)\)，故 0 是该反例的严格极大值点，并非极小值点。D 不是必然结论，选 ABC。

答案：ABC。

回头检验：例如 \(F(1/2)=-(\ln2)/4<0\)。这个反例只用来否定 D；题设并没有要求函数必须具有这一解析式。

容易错在：凭一个熟悉的函数猜出所有函数；或者反例只在非零实数上验证，遗漏原题定义域中的 0。

• 先从 \(f(3/2-2x)\) 为偶函数得到 \(f(3-u)=f(u)\)，再求导。
• 导函数的两种反射关系合起来可以给出一个平移变号关系。找零值比求函数形式更直接。
• 检验错误选项时，给满足全部题设的 \(f\) 加常数，可能改变某些函数值而保留导数。

1. 同一函数上的两种反射由偶性换元得 \(f(3-u)=f(u)\)。两边关于 \(u\) 求导，链式法则给 \(g(3-u)=-g(u)\)，所以 \(g(3/2)=0\)。又由 \(g(2+x)\) 为偶函数得 \(g(4-u)=g(u)\)。
2. 平移变号与零点将两式组合：\(g(u+1)=g(4-(3-u))=g(3-u)=-g(u)\)。从而 \(g(u+2)=g(u)\)，所以 \(g(-1/2)=g(3/2)=0\)，B 成立。
3. 原函数的对称值在 \(f(3-u)=f(u)\) 中取 \(u=-1\)，即得 \(f(4)=f(-1)\)，C 成立。
4. 同时排除 A、D取 \(f(u)=1-\sin(\pi u)\)，\(g(u)=-\pi\cos(\pi u)\)。此时 \(f(3/2-2x)=1+\cos(2\pi x)\)，\(g(2+x)=-\pi\cos(\pi x)\)，两者均为偶函数；但 \(f(0)=1\ne0\)，且 \(g(-1)=\pi\ne-\pi=g(2)\)。故 A、D 均不一定成立。

答案：BC。

回头检验：\(g(u+1)=-g(u)\) 表示平移后变号，不能直接写成周期 1；零函数也满足条件，不能据此认定 2 是最小正周期。

容易错在：求导漏掉左侧的负号；从导函数对称直接推原函数过原点，忽略任意加法常数。

• 第（1）问令目标点为 \(t=-1+d\)，分 \(t<0\) 与 \(t\ge0\) 解严格不等式。
• 第（2）问可先求 \(D(x)\) 的分段表达式；穿过 0 时，单独检查端点。
• 第（3）问的条件①是说：能让较大函数值继续增大的位移，也能让较小函数值增大。
• 第（3）（i）若某个负基点的函数值超过 \(f(0)\)，选一个足够小的正位移，会与②冲突。
• 第（3）（ii）先反证 \((0,1)\) 上的函数值不能为正，再选两个负数作为基点，把这个结论推广到所有正数；最后用同一正位移比较任意两点。

1. （1）分目标点求集合令 \(t=-1+d\)，\(f(-1)=1/2\)。当 \(t<0\) 时，\(2^t>1/2\) 等价于 \(-1<t<0\)，给出 \(0<d<1\)；当 \(t\ge0\) 时，\(1-t>1/2\) 等价于 \(0\le t<1/2\)，给出 \(1\le d<3/2\)。合并得 \(D(-1)=(0,3/2)\)。
2. （2）求两类非零基点的集合奇性给出 \(f(0)=0\)，且 \(x>0\) 时 \(f(x)=-2^{-x}\)。在负半轴函数值为正且严格递增，在正半轴为负且严格递增。于是当 \(x<0\) 时，只有 \(x<x+d<0\) 才能增值，即 \(D(x)=(0,-x)\)；当 \(x>0\) 时，落到非正半轴或在正半轴向右移动都能增值，即 \(D(x)=(-\infty,-x]\cup(0,+\infty)\)。
3. （2）逐类证明包含若 \(x_1,x_2\) 同号，由所在半轴的严格递增性，\(f(x_1)\le f(x_2)\) 得 \(x_1\le x_2\)，两种集合表达式分别都给出 \(D(x_2)\subseteq D(x_1)\)。若异号，只可能 \(x_1>0>x_2\)，此时 \(D(x_2)=(0,-x_2)\subset(0,+\infty)\subseteq D(x_1)\)。题设排除了零基点，所以分类完备。
4. （3）（i）从已知负半轴逼近上界记 \(c=f(0)\)。若有 \(a<0\) 使 \(f(a)>c\)，取 \(0<h<\min\{1,-a\}\)。此时 \(a<a+h<0\)，故 \(h\in D(a)\)。由①及 \(c<f(a)\) 得 \(D(a)\subseteq D(0)\)，推出 \(f(h)>c\)，与②矛盾。因此每个 \(a<0\) 都有 \(2^a\le c\)。因 \(2^a\) 在 \(a\to0^-\) 时趋于 1，得 \(c\ge1\)。这里只对已知指数式取极限，没有假设 \(f\) 在 0 连续。
5. （3）（ii）先证明短区间上非正固定任意 \(0<t<1\)。若 \(f(t)>0\)，可取足够小的 \(a<0\) 使 \(0<f(a)=2^a<f(t)\)。②给出 \(f(0)>f(t)\)，所以 \(-t\in D(t)\)。由①有 \(D(t)\subseteq D(a)\)，从而 \(f(a-t)>f(a)\)；但 \(a-t<a<0\)，负半轴的指数式给出相反的严格不等式，矛盾。故 \((0,1)\) 上 \(f(t)\le0\)。
6. （3）（ii）转移到整个正半轴若有 \(x\ge1\) 使 \(f(x)>0\)，取 \(v<0\) 满足 \(2^v<f(x)\)，再取 \(t=1/2\)，令 \(u=v+t-x<v<0\)，\(d=x-v>0\)。有 \(f(u)<f(v)\)，且 \(f(v+d)=f(x)>f(v)\)，即 \(d\in D(v)\)。①给出 \(d\in D(u)\)，于是 \(f(t)=f(u+d)>f(u)>0\)，与上一步矛盾。因此每个 \(x>0\) 都有 \(f(x)\le0\)。
7. （3）（ii）任意两点严格比较任取 \(0<x<y\)，令 \(h=y-x>0\)，选 \(a<-h\)。则 \(a<a+h<0\)，所以 \(h\in D(a)\)。已证 \(f(x)\le0<2^a=f(a)\)，由①得 \(D(a)\subseteq D(x)\)，故 \(h\in D(x)\)，即 \(f(y)>f(x)\)。任意两点都满足严格不等式，故 \(f\) 在正半轴严格递增。

答案：（1）\(D(-1)=(0,3/2)\)；（2）包含关系成立；（3）（i）\(f(0)\ge1\)，（ii）\(f\) 在 \((0,+\infty)\) 严格递增。

回头检验：第（1）问 \(d=0,3/2\) 都只能使两边相等，不满足严格不等式；\(d=1\) 满足条件。第（2）问 \(x<0\) 时 \(d=-x\) 不合法，而 \(x>0\) 时它合法。第（3）问只用给定指数半轴、①②与任意两点比较，不给抽象函数补连续性、可导性或解析式。

容易错在：把集合包含方向写反；将三个小问的不同附加条件混用；只证明某一个正区间上递增就当作整个正半轴递增。

• 先把两个含函数的等式都改写成同一个函数的关系，目标和中的 \(f(k)\) 也要换成 \(g\) 的值。
• 对称轴给出自变量关于 2 的反射；平移关系叠加后，哪些相隔固定步长的函数值相加为常数？
• 由 \(g(t)+g(t+2)=12\) 得周期，再用 \(g(2)=4\) 求一个周期内的四个整数点值，最后分组求和。

1. 消去 \(f\) 并找周期由 \(g(x)-f(x-4)=7\) 得 \(f(x)=g(x+4)-7\)，与 \(f(x)=5-g(2-x)\) 合并，得到 \(g(x+4)+g(2-x)=12\)。关于 \(x=2\) 对称，所以 \(g(2-x)=g(2+x)\)，即 \(g(t)+g(t+2)=12\)。再把 \(t\) 换成 \(t+2\)，可得 \(g(t+4)=g(t)\)。
2. 求一个周期内的值由 \(g(2)=4\) 及相邻两项和为 12，得 \(g(0)=g(4)=8\)。对称性给出 \(g(1)=g(3)\)，且 \(g(1)+g(3)=12\)，所以 \(g(1)=g(3)=6\)。一个周期的整数点和为 \(8+6+4+6=24\)。
3. 换回目标和并分组由 \(f(k)=5-g(2-k)=5-g(k+2)\)，故目标和为 \(110-\sum_{j=3}^{24}g(j)\)。其中 \(j=3\) 至 22 是 5 个完整周期，和为 120；余下两项为 \(g(23)+g(24)=g(3)+g(4)=14\)。所以总和为 \(110-134=-24\)，选 D。

答案：D，\(-24\)。

回头检验：\(g(t+4)=g(t)\) 与 \(g(t)+g(t+2)=12\) 同时成立；目标区间恰好拆成 5 个周期加两个端点。

容易错在：把对称轴误写成关于原点对称；周期分组时漏掉 \(g(23),g(24)\)，或把 \(f(k)\) 的自变量换错。

• 逐项判断时，先找能直接代入恒等式的特殊自变量；哪些选项只需一个值就能决定？
• 要判断奇偶性，除了得到 \(f(-1)\) 还缺什么形式的代入？极值点结论则需要检查是否对所有满足条件的函数成立。
• 依次尝试 \((x,y)=(0,0),(1,1),(-1,-1),(x,-1)\)，最后用零函数检验“极小值点”是否必然。

1. 先锁定 0 和 1 的函数值取 \(x=y=0\)，得 \(f(0)=0\)。取 \(x=y=1\)，得 \(f(1)=2f(1)\)，故 \(f(1)=0\)。因此 A、B 正确。
2. 用负单位元得到偶性取 \(x=y=-1\)，左端为 \(f(1)=0\)，右端为 \(2f(-1)\)，所以 \(f(-1)=0\)。再令 \(y=-1\)，得到 \(f(-x)=f(x)+x^2f(-1)=f(x)\)，故 \(f\) 为偶函数，C 正确。
3. 检查极值断言的普遍性取反例：\(f(0)=0\)，且当 \(x\ne0\) 时 \(f(x)=x^2\ln|x|\)。它满足原恒等式，但在 0 的邻域内 \(f(x)<0=f(0)\)，所以 0 是局部极大而不是极小，D 不是必然结论。答案为 ABC。

答案：ABC。

回头检验：每次代入都回到原恒等式；反例 \(f(x)=x^2\ln|x|\)（\(x\ne0\)）且 \(f(0)=0\) 满足条件，并在 0 附近取负值，足以否定 D。

容易错在：由 \(f(0)=f(1)=0\) 就猜出函数恒为零；把“偶函数”误读成“在 0 处必有极小值”。

• 先用 \(0\in A\) 和 \(A\subseteq B\)，确定参数只有哪些候选。
• 候选还要使 \(-a\) 也属于 \(B\)；不要只验一个元素。

1. 固定元素先缩小范围因为 \(0\in A\subseteq B\)，且 \(1\ne0\)，所以 \(a-2=0\) 或 \(2a-2=0\)。候选是 \(a=2\) 或 \(a=1\)。
2. 逐个候选代回当 \(a=2\) 时，\(A=\{0,-2\}\)，\(B=\{1,0,2\}\)，\(-2\notin B\)，排除。当 \(a=1\) 时，\(A=\{0,-1\}\)，\(B=\{1,-1,0\}\)，包含成立。

答案：B，\(a=1\)。

回头检验：若 \(a=0\)，原列举式 \(A=\{0,0\}\) 与 \(B=\{1,-2,-2\}\) 均出现重复元素，违背互异性，必须舍去。候选参数还须逐项检验包含关系。

容易错在：把必要条件当成充分条件，只验了固定元素就停笔。

本题用到的方法：集合包含逐元素检验、函数关系翻译

• 分别记题目前后两句话为 \(P,Q\)，把 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(Q\Rightarrow P\) 分开判断。
• 平方会丢掉符号；用一个简单角度组合检查反向推理。

1. 证明必要性记 \(P:\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，\(Q:\sin\alpha+\cos\beta=0\)。由 \(Q\) 得 \(\sin\alpha=-\cos\beta\)，平方后 \(\sin^2\alpha=\cos^2\beta=1-\sin^2\beta\)，所以 \(Q\Rightarrow P\)。
2. 反例否定充分性取 \(\alpha=\pi/2,\beta=0\)，则 \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，但 \(\sin\alpha+\cos\beta=2\ne0\)。故 \(P\) 成立不能保证 \(Q\)。

答案：B，必要条件但不是充分条件。

回头检验：条件 \(P\) 等价于 \(|\sin\alpha|=|\cos\beta|\)，只控制绝对值；\(Q\) 还要求两者互为相反数。

容易错在：只看到平方后的等式相同，就把两个方向都判为成立。

本题用到的方法：集合包含逐元素检验、函数关系翻译

• 先由底面三条相等的边确定等腰梯形的高；不能直接把梯形的两腰当作坐标轴。
• 证明垂直可检验方向向量点积；线面角的正弦用直线方向向量与平面法向量求。

1. 建系并确定底面以 \(D\) 为原点，\(DC\) 为 \(x\) 轴正向，底面为 \(xy\) 平面。等腰梯形两底长分别为 2、1，两腰长为 1，故高为 \(\sqrt3/2\)。可取 \(D(0,0,0)\)，\(C(1,0,0)\)，\(A(-1/2,\sqrt3/2,0)\)，\(B(3/2,\sqrt3/2,0)\)，\(P(0,0,\sqrt3)\)。
2. （1）计算点积\(\overrightarrow{DB}=(3/2,\sqrt3/2,0)\)，\(\overrightarrow{AP}=(1/2,-\sqrt3/2,\sqrt3)\)，点积为 \(3/4-3/4=0\)，所以 \(BD\perp PA\)。
3. （2）找平面法向量\(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\)。向量 \(\boldsymbol n=(0,2,1)\) 与 \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\) 都垂直，且这两个面内向量不共线，故它是平面 \(PAB\) 的法向量。
4. （2）由法向量求正弦\(PD\) 的单位方向向量可取 \(\boldsymbol e=(0,0,1)\)。若线面角为 \(\theta\)，则 \(\sin\theta=|\boldsymbol e\cdot\boldsymbol n|/|\boldsymbol n|=1/\sqrt5=\sqrt5/5\)。

答案：（1）\(BD\perp PA\)；（2）正弦值为 \(\sqrt5/5\)。

回头检验：平面 \(PAB\) 的方程为 \(2y+z=\sqrt3\)，\(P,A,B\) 均满足；\(PD\) 沿竖直方向，与法向量的夹角余弦为 \(1/\sqrt5\)。

容易错在：正交坐标轴必须有垂直依据；线面角的正弦对应法向量夹角余弦，不能再取一次余角。

本题用到的方法：空间坐标建系、向量点积与法向量

• 先把正方形放在 \(xy\) 平面；距离平方相减会消去三项平方。
• 二面角 \(B-QD-A\) 要取指向 \(B,A\) 所在半平面的垂棱向量，不能只凭法向量点积的正负。

1. （1）由距离找高取 \(A(0,0,0)\)，\(D(2,0,0)\)，\(B(0,2,0)\)，\(C(2,2,0)\)，设 \(Q(x,y,z)\)。由 \(QA^2=QD^2=5\) 得 \(x=1\)；由 \(QC^2-QD^2=9-5=4\) 得 \(-4y+4=4\)，故 \(y=0\)。进而 \(z^2=4\)，选取朝向 \(Q\) 的 \(z\) 轴，令 \(Q(1,0,2)\)。
2. （1）证明面面垂直\(QAD\) 是平面 \(y=0\)，它包含竖直直线 \(QH\)，其中 \(H(1,0,0)\)。\(QH\perp\) 平面 \(ABCD\)，所以平面 \(QAD\perp\) 平面 \(ABCD\)。
3. （2）作垂直于棱的两个方向取棱方向 \(\boldsymbol e=\overrightarrow{DQ}=(-1,0,2)\)。从 \(\overrightarrow{DA}=(-2,0,0)\)、\(\overrightarrow{DB}=(-2,2,0)\) 中各减去沿 \(\boldsymbol e\) 的投影，得 \(\boldsymbol u=(-8/5,0,-4/5)\)、\(\boldsymbol v=(-8/5,2,-4/5)\)。两者都垂直于棱，且分别指向 \(A,B\) 所在半平面。
4. （2）计算实际二面角\(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=16/5\)，\(|\boldsymbol u|^2=16/5,|\boldsymbol v|^2=36/5\)。所以二面角平面角的余弦为 \(\frac{16/5}{(4/\sqrt5)(6/\sqrt5)}=2/3\)。

答案：（1）两平面垂直；（2）二面角平面角的余弦值为 \(2/3\)。

回头检验：\(Q(1,0,2)\) 到 \(A,D,C\) 的距离平方依次是 5、5、9。垂棱向量的点积为正，所求为锐二面角，其余弦应为正。

容易错在：距离差求出的只是投影坐标，还要检查高度非零；指定半平面的二面角不能直接用任意两条法向量的夹角代替。

本题用到的方法：空间坐标建系、向量点积与法向量

• 最大值发生在定义域内部的哪个点？把这个事实转成导数条件。
• 先用函数在 \(x=1\) 的函数值，再用该点导数为零，两个条件分别确定两个参数。
• 写出 \(f'(x)=a/x-b/x^2\)，代入已求参数和 \(x=2\)。

1. 由函数值确定一个参数\(f(1)=a\ln1+b=b\)，而最大值为 \(-2\)，所以 \(b=-2\)。
2. 由极值确定另一个参数\(x=1\) 是定义域 \((0,+\infty)\) 内点，故 \(f'(1)=a-b=0\)，得到 \(a=-2\)。
3. 代入导数\(f'(x)=-2/x+2/x^2=2(1-x)/x^2\)，所以 \(f'(2)=-1/2\)。

答案：B，\(-\dfrac12\)。

回头检验：代回可得 \(f'(x)=2(1-x)/x^2\)，在 \(x=1\) 左正右负，确为最大值点。

容易错在：只使用“最大值为−2”而没有使用最大值点的位置，或把 \(f(1)\) 误算成含有 \(a\ln1\) 的项。

• 设切点横坐标为 \(t\)，先把切线方程写成点斜式。
• 过原点意味着切线在 \(x=0\) 时函数值为零，整理后只剩关于 \(t\) 的二次方程。
• 两条切线对应两个不同实根，检查判别式并排除等号情形。

1. 写切线过原点条件曲线在 \(x=t\) 处的切线为 \(y-(t+a)\mathrm e^t=(t+a+1)\mathrm e^t(x-t)\)。令 \(x=0,y=0\)，约去 \(\mathrm e^t\) 得 \(t^2+at-a=0\)。
2. 判断根的个数两条切线要求该方程有两个不同实根，判别式 \(\Delta=a^2+4a>0\)。
3. 解参数范围\(a(a+4)>0\)，所以 \(a<-4\) 或 \(a>0\)。

答案：\((-\infty,-4)\cup(0,+\infty)\)。

回头检验：当 \(a=-4\) 时只有一个重根，当 \(a=0\) 时方程退化为 \(t^2=0\)，都不产生两条不同切线。

容易错在：把“有两个切线”误写成判别式大于等于零，遗漏重根不对应两条切线。

• 函数恒正，先研究其对数，单调性不变。
• 第（2）问先分 \(0<a<1\) 和 \(a>1\)；有极大值并不等于有两个交点。

1. （1）研究对数令 \(h(x)=\ln f(x)=2\ln x-x\ln2\)，\(h\prime(x)=2/x-\ln2\)。所以 \(f\) 在 \((0,2/\ln2)\) 递增，在 \((2/\ln2,+\infty)\) 递减。
2. （2）先分参数一般地 \(h(x)=a\ln x-x\ln a\)。当 \(0<a<1\) 时，\(h\prime(x)=a/x-\ln a>0\)，且 \(h(a)=0\)，只有一个交点。
3. （2）比较极大值与零当 \(a>1\) 时，\(h\) 在 \(x_*=a/\ln a\) 处取得最大值，两端趋于负无穷。由 \(a-\mathrm e\ln a\ge0\)（对左端求导，最小值在 \(a=\mathrm e\) 处取得）得 \(x_*\ge\mathrm e\)，故 \(h(x_*)=a(\ln x_*-1)\ge0\)，等号恰在 \(a=\mathrm e\) 成立。
4. （2）数交点当 \(a>1\) 且 \(a\ne\mathrm e\) 时，最大值严格大于零，增减两段各有一个零点。当 \(a=\mathrm e\) 时只有最大值点一个零点。因此 \(a\in(1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

答案：（1）增区间 \((0,2/\ln2)\)，减区间 \((2/\ln2,+\infty)\)；（2）\((1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

回头检验：\(a=2\) 时 \(x=2,4\) 都使 \(f(x)=1\)；\(a=\mathrm e\) 时只在 \(x=\mathrm e\) 接触直线。\(a=1\) 已被题设排除。

容易错在：不能把极大值等于 1 时的相切算成两个交点；取对数前要说明函数恒正。

• 设三次曲线切点横坐标为 \(t\)，抛物线切点横坐标为 \(u\)；不要把它们当成同一个数。
• 同一条直线的斜率与截距都相同，消去 \(u\) 后再求参数的范围。

1. 同斜率、同截距三次曲线在 \(t\) 处的切线是 \(y=(3t^2-1)x-2t^3\)；抛物线在 \(u\) 处的切线是 \(y=2ux+a-u^2\)。故 \(u=(3t^2-1)/2\)，\(a=u^2-2t^3\)。
2. （1）代入指定切点\(t=-1\) 时 \(u=1\)，于是 \(a=1+2=3\)。两条切线均为 \(y=2x+2\)。
3. （2）参数变成函数值域令 \(A(t)=(9t^4-8t^3-6t^2+1)/4\)，则 \(A\prime(t)=3t(3t+1)(t-1)\)。驻点为 \(-1/3,0,1\)，对应函数值为 \(5/27,1/4,-1\)。
4. （2）核对全局与取得到导数符号从左到右为负、正、负、正，且 \(t\to\pm\infty\) 时 \(A(t)\to+\infty\)。最小值为 \(-1\)，在 \(t=1\) 处取得。右侧递增分支连续，值域为 \([-1,+\infty)\)，其中每个值都对应一条公切线。

答案：（1）\(a=3\)；（2）\(a\in[-1,+\infty)\)。

回头检验：最小值 \(a=-1\) 时，\(t=u=1\)，两曲线的切线都是 \(y=2x-2\)，所以端点符合题意。

容易错在：只令导数相同还不够，还须让切线截距相同；比较各局部极小值后才能认定全局最小值。

• 定义域在 \(x=1\) 断开，不能只写一个单调区间。
• 先写对数曲线切线；指数曲线切点的横坐标可由斜率相等反推。

1. （1）划分定义域定义域为 \((0,1)\cup(1,+\infty)\)，\(f\prime(x)=1/x+2/(x-1)^2>0\)，分别在这两个区间严格递增。
2. （1）存在性和唯一性在 \((0,1)\) 上，\(x\to0^+\) 时 \(f(x)\to-\infty\)，\(x\to1^-\) 时趋于正无穷；在 \((1,+\infty)\) 上，\(x\to1^+\) 时趋于负无穷，\(x\to+\infty\) 时趋于正无穷。各段连续且严格递增，所以每段都恰好有一个零点。
3. （2）写第一条切线设零点为 \(r\)，则 \(r>0,r\ne1\)，\(\ln r=(r+1)/(r-1)\)。对数曲线切线为 \(y=x/r+\ln r-1\)。
4. （2）构造第二个切点指数曲线在 \(s=-\ln r\) 处的斜率为 \(\mathrm e^s=1/r\)，切线为 \(y=x/r+(1+\ln r)/r\)。零点关系给出 \(\ln r-1=2/(r-1)=(1+\ln r)/r\)，两切线完全相同。

答案：（1）在 \((0,1)\)、\((1,+\infty)\) 分别递增，各有一个零点；（2）公切线在指数曲线上的切点为 \((-\ln r,1/r)\)，其中 \(r=x_0\)。

回头检验：零点若为 \(r\)，则 \(1/r\) 也是零点，因为 \(f(1/r)=-f(r)\)。两个零点互为倒数，均不等于定义域删掉的 1。

容易错在：不能跨过定义域断点就说函数在整个定义域递增；另一条曲线的切点通常不与原切点重合。

• 第（Ⅲ）问要比较 f 的最大值和 \(a+b\)。最大值在哪一点取到？那一点能直接解出来吗？
• 第（Ⅱ）问里的极值点 r 满足 \(f'(r)=0\)，这个等式还没用上：它把参数 a 和 r 联系在一起。
• 设而不求：用 \(a=(r+1)\mathrm e^r\) 把 \(f(r)-a\) 写成只含 r 的函数，并说明 a 取遍正数时 r 取遍哪个区间，再对 r 求导找最小值。

1. （Ⅰ）切线\(f(0)=0\)，\(f'(x)=a-(x+1)\mathrm e^x\)，\(f'(0)=a-1\)，切线为 \(y=(a-1)x\)。
2. （Ⅱ）唯一极值点令 \(h(x)=(x+1)\mathrm e^x\)，则 \(f'(x)=a-h(x)\)。\(x\le-1\) 时 \(h(x)\le0<a\)，\(f'(x)>0\)。\(x>-1\) 时 \(h'(x)=(x+2)\mathrm e^x>0\)，h 从 \(h(-1)=0\) 递增到正无穷，所以 \(h(x)=a\) 在 \((-1,+\infty)\) 上恰有一个解 r，且 \(x<r\) 时 \(f'(x)>0\)，\(x>r\) 时 \(f'(x)<0\)。r 是唯一的极值点，是极大值点，也是最大值点。
3. （Ⅲ）设而不求题目要求存在 \(a>0\)，使 \(f(r)\le a+b\)，即 \(b\ge f(r)-a\)。r 解不出，就用 \(a=(r+1)\mathrm e^r\) 代换：\(f(r)=ar-r\mathrm e^r=r^2\mathrm e^r\)，所以 \(f(r)-a=(r^2-r-1)\mathrm e^r\)。
4. （Ⅲ）参数换成 r\(a=(r+1)\mathrm e^r\) 在 \(r>-1\) 上严格递增，取遍 \((0,+\infty)\)，所以 a 取遍正数，r 就取遍 \((-1,+\infty)\)。问题变成：存在 \(r>-1\)，使 \(b\ge\varphi(r)=(r^2-r-1)\mathrm e^r\)。
5. （Ⅲ）对 r 求最小值\(\varphi'(r)=(r^2+r-2)\mathrm e^r=(r+2)(r-1)\mathrm e^r\)。\(-1<r<1\) 时 \(\varphi'(r)<0\)，\(r>1\) 时 \(\varphi'(r)>0\)，最小值为 \(\varphi(1)=-\mathrm e\)，此时 \(a=2\mathrm e\)。所以 \(b\ge-\mathrm e\)。

答案：（Ⅰ）\(y=(a-1)x\)；（Ⅱ）f 有唯一极值点，是极大值点；（Ⅲ）\(b\in[-\mathrm e,+\infty)\)。

回头检验：取 \(a=2\mathrm e\)，\(b=-\mathrm e\)：极值点 \(r=1\)，最大值 \(f(1)=2\mathrm e-\mathrm e=\mathrm e=a+b\)，端点能取到。r 趋近 \(-1\) 时 \(\varphi(r)\) 趋近 \(\dfrac1{\mathrm e}\)，r 很大时 \(\varphi(r)\) 趋于正无穷，都比 \(-\mathrm e\) 大。

容易错在：把存在 a 看成对任意 a 都成立；或者硬解 \(f'(x)=0\)。极值点解不出时，用它满足的等式代换参数，并说明 a 与 r 一一对应。

• 先求定义域，比较 \(f(2-x)\) 与 \(f(x)\)。
• 第（3）问先由分界点处的连续性确定 \(a\)，再令 \(t=x-1\)。
• 压轴拓展：研究新函数的导数符号，必要性也要检验分界点附近。

1. （1）寻找导数下界定义域 \(0<x<2\)。当 \(b=0\) 时，\(f\prime(x)=2/[x(2-x)]+a\)。由 \(x(2-x)=1-(x-1)^2\le1\) 得导数的最小值为 \(2+a\)，在 \(x=1\) 取得。因此 \(a\ge-2\)，最小值为 \(-2\)。
2. （2）求中心直接代入得 \(f(2-x)=2a-f(x)\)，而定义域关于 \(x=1\) 对称，所以图象关于 \((1,a)\) 中心对称。
3. （3）先定参数再换元题设的当且仅当与连续性要求 \(f(1)=-2\)，故 \(a=-2\)。令 \(t=x-1\)，则 \(f(x)+2=H(t)=\ln[(1+t)/(1-t)]-2t+bt^3\)。\(H\) 是 \((-1,1)\) 上的奇函数，只需 \(H(t)>0\) 对 \(0<t<1\) 成立。
4. （3）充分性\(H\prime(t)=t^2[2/(1-t^2)+3b]\)。若 \(b\ge-2/3\)，则 \(t>0\) 时 \(H\prime(t)\ge2t^4/(1-t^2)>0\)，从 \(H(0)=0\) 得所需的严格不等式；负半段由奇性得出。
5. （3）必要性若 \(b<-2/3\)，连续函数 \(2/(1-t^2)+3b\) 在 \(t=0\) 为负，故在某个正的小区间内仍为负，\(H\) 从零开始递减，出现 \(H(t)<0\)，矛盾。因此 \(b\in[-2/3,+\infty)\)。

答案：（1）\(a\) 的最小值为 \(-2\)；（2）中心 \((1,a)\)；（3）\(b\ge-2/3\)（同时必有 \(a=-2\)）。

回头检验：取边界 \(a=-2,b=-2/3\)，\(H\prime(t)=2t^4/(1-t^2)>0\) 对 \(0<t<1\) 成立。\(t=0\) 时只取等号，正好对应题设不含的 \(x=1\)。

容易错在：当且仅当要证明两个方向，不能只证明右半区间大于 −2。这里多次求导是为了判断单调性。

• 先把 \(f\prime(x)\) 提出 \(x^2\)。
• 写 \(r=x_1\)，用 \(3k=1/(1+r)\) 消参数，比较 \(f\prime(r+t)+f\prime(r-t)\)。
• 压轴拓展：第（ii）问考虑 \(t\) 趋近 \(r\) 时，对称差的符号如何给出 \(f(2r)\) 的符号。

1. （1）极值唯一\(f\prime(x)=x^2[1/(1+x)-3k]\)。由 \(0<k<1/3\) 得 \(r=1/(3k)-1>0\)，在 \((0,r)\) 导数正，在 \((r,+\infty)\) 导数负。所以唯一极值点为 \(r\)，且为极大值点。
2. （1）零点唯一\(f(0)=0\) 但 0 不在所求区间。先增得 \(f(r)>0\)；又由 \(\ln(1+x)\le x\)（\(x\ge0\)，可求导证明）得 \(f(x)\le x^2/2-kx^3\to-\infty\)。连续性和右支严格递减保证恰有一个正零点 \(s>r\)。
3. （i）消参数由 \(3k=1/(1+r)\) 得 \(f\prime(u)=u^2(r-u)/[(1+r)(1+u)]\)。因此 \(g\prime(t)=\dfrac{t}{1+r}\left[\dfrac{(r-t)^2}{1+r-t}-\dfrac{(r+t)^2}{1+r+t}\right]\)。
4. （i）判断符号利用 \(u^2/(1+u)=u-1+1/(1+u)\)，化简为 \(g\prime(t)=\dfrac{2t^2}{1+r}\left[\dfrac1{(1+r)^2-t^2}-1\right]\)。\(0<t<r\) 时分母 \((1+r)^2-t^2>1+2r>1\)，故 \(g\prime(t)<0\)，\(g\) 严格递减。
5. （ii）由函数值定位零点补充定义 \(g(0)=0\)，使 \(g\) 在 \([0,r]\) 上连续。由严格递减可得 \(g(r)<0\)（先在区间内比较 \(r/2\) 与靠近 0 的点，再用连续性比较端点）。所以 \(f(2r)=g(r)+f(0)<0\)。\(f\) 在 \((r,+\infty)\) 严格递减，唯一零点 \(s\) 必满足 \(r<s<2r\)，即 \(2x_1>x_2\)。

答案：（1）唯一极值点 \(x_1=1/(3k)-1\)，唯一正零点在其右侧；（i）\(g\) 严格递减；（ii）\(x_1<x_2<2x_1\)。

回头检验：取 \(k=1/6\)，则 \(x_1=1\)，\(f(1)=\ln2-2/3>0\)，\(f(2)=\ln3-4/3<0\)，正零点约为 1.38835，确在 1 与 2 之间。

容易错在：补充定义后，0 也是零点，但不属于题目要求的正零点；只说明对称差趋向非正还不够，端点处也要严格小于零。

• 第（2）问是恒成立求参数范围。哪个 x 代进去最省事，能先得到 a 的一个限制？
• 代一个点得到的只是必要条件。要证充分，还要处理 \(\mathrm e^{x-1}\) 和 \(\ln x\) 这两项：能不能都换成 x 的一次式来比较？
• 用常用不等式放缩：由 \(\mathrm e^u\ge u+1\) 得 \(\mathrm e^{x-1}\ge x\)，再配上 \(\ln x\le x-1\)，并检查两个等号在哪一点取到。

1. （1）切线与面积\(a=\mathrm e\) 时 \(f(x)=\mathrm e^x-\ln x+1\)，\(f(1)=\mathrm e+1\)，\(f'(x)=\mathrm e^x-\dfrac1x\)，\(f'(1)=\mathrm e-1\)。切线为 \(y=(\mathrm e-1)x+2\)，与 y 轴交于 \((0,2)\)，与 x 轴交于 \(\left(-\dfrac{2}{\mathrm e-1},0\right)\)。面积为 \(\dfrac12\cdot2\cdot\dfrac{2}{\mathrm e-1}=\dfrac{2}{\mathrm e-1}\)。
2. （2）代点得必要条件对数要求 \(a>0\)，\(x>0\)。取 \(x=1\)：\(f(1)=a+\ln a\ge1\)。\(a+\ln a\) 在 \((0,+\infty)\) 上严格递增，且 \(a=1\) 时等于 1，所以 \(a\ge1\)。
3. （2）放缩证明充分性若 \(a\ge1\)，则 \(a\mathrm e^{x-1}\ge\mathrm e^{x-1}\)，\(\ln a\ge0\)，所以 \(f(x)\ge\mathrm e^{x-1}-\ln x\)。由 \(\mathrm e^u\ge u+1\) 取 \(u=x-1\) 得 \(\mathrm e^{x-1}\ge x\)；由 \(\ln x\le x-1\) 得 \(-\ln x\ge1-x\)。相加得 \(f(x)\ge x+1-x=1\)。
4. （2）结论必要性和充分性合起来，a 的取值范围是 \([1,+\infty)\)。

答案：（1）\(\dfrac{2}{\mathrm e-1}\)；（2）\([1,+\infty)\)。

回头检验：\(a=1\) 时 \(f(x)=\mathrm e^{x-1}-\ln x\)，两次放缩的等号都在 \(x=1\) 取到，\(f(1)=1\)，下界能取到；a 略小于 1 时 \(f(1)=a+\ln a<1\)，不满足。

容易错在：只代 \(x=1\) 就下结论，没证明 \(a\ge1\) 时对所有 \(x>0\) 都成立；或者算面积时把负的横截距直接相乘。

• 先看 x=0 附近：f(0)=-1 且 \(f\prime(0)=0\)，用二阶导数给出参数必要条件。
• 当 0<a≤1/2 时，对 1+ax>0 取对数；当 a≤0 时注意因子 1+ax 可能为负。
• 临界值 a=1/2 代入后换元，再逐项累加对数差。

1. （1）先看导数符号a=1 时 \(f(x)=(x-1)\mathrm e^x\)，\(f\prime(x)=x\mathrm e^x\)，所以在 \((-\infty,0)\) 递减、\((0,+\infty)\) 递增。
2. （2）必要条件来自端点f(0)=-1，且 \(f\prime(0)=0\)，\(f\prime\prime(0)=2a-1\)。若 a>1/2，则 \(f\prime\prime\) 在 0 右侧为正，f 立即上升，违背 f(x)<-1；故 a≤1/2。
3. （2）证明充分性若 0<a≤1/2，\(\ln[(1+ax)\mathrm e^{ax}]=\ln(1+ax)+ax<2ax≤x\)，故 \(f\prime(x)<0\)。若 a≤0，分 1+ax≤0 与 1+ax>0，均有 \((1+ax)\mathrm e^{ax}<\mathrm e^x\)；所以 \(f\prime(x)<0\)，\(f(x)<f(0)=-1\)。
4. （3）从临界参数得到放缩取 a=1/2，令 \(t=\mathrm e^{x/2}>1\)，得 \(2\ln t<t-1/t\)。取 \(t=\sqrt{(k+1)/k}\)，得到 \(\ln(k+1)-\ln k<1/\sqrt{k^2+k}\)，对 k=1,…,n 求和即得结论。

答案：（1）在 \((-\infty,0)\) 递减、\((0,+\infty)\) 递增；（2）\(a\le1/2\)；（3）所给和严格大于 \(\ln(n+1)\)。

回头检验：a=1/2、x=1 时 \(f(1)=\mathrm e^{1/2}-\mathrm e<-1\)；n=1 时 \(1/\sqrt2≈0.707>\ln2≈0.693\)。

容易错在：只算出 \(f\prime\prime(0)\) 而不说明连续性，不能完成必要性；a≤0 时不能默认 1+ax>0。

• 把 \(\mathrm e^x/x\) 写成 \(\mathrm e^{x-\ln x}\)，令 \(t=x-\ln x\)。
• 先研究 \(h(x)=x-\ln x\) 的两段单调性，再在 t 上判断零点。
• 要比较两个零点的乘积，可比较 h(x) 与 h(1/x)，并对差函数求导。

1. 同构换元定义域为 x>0。令 \(h(x)=x-\ln x\)，则 \(f(x)=\mathrm e^{h(x)}+h(x)-a\)。\(h\prime(x)=1-1/x\)，在 (0,1) 递减、在 (1,+∞) 递增，最小值 h(1)=1。
2. （1）恒成立转成 t 的最小值令 \(G(t)=\mathrm e^t+t-a\)。\(G\) 在 \([1,+\infty)\) 上递增，所以 \(f(x)≥0\) 恒成立当且仅当 \(G(1)=\mathrm e+1-a≥0\)，即 \(a≤\mathrm e+1\)。
3. （2）两个零点对应同一个 tG 严格递增，f 的两个零点只能对应 h(x)=t_0 的两个解 x_1<1<x_2，且 h(x_1)=h(x_2)。
4. （2）比较倒数位置对 0<x<1，令 \(φ(x)=h(x)-h(1/x)=x-1/x-2\ln x\)。\(φ\prime(x)=(1-1/x)^2≥0\)，且 φ(1)=0，所以 φ(x)<0。于是 h(x_1)<h(1/x_1)，由 h 在 (1,+∞) 递增得 x_2<1/x_1，即 x_1x_2<1。

答案：（1）\(a∈(-∞,\mathrm e+1]\)；（2）若有两个零点，则 \(x_1x_2<1\)。

回头检验：\(a=\mathrm e+1\) 时 x=1 为最小值处的零点；a=6 时数值零点约为 0.300 与 2.363，乘积约 0.71。

容易错在：只看到 h 有两个单调支还不够；比较 x_2 与 1/x_1 时必须先说明二者都在 (1,+∞)。

• 第（2）问先由定义域关于对称轴的要求得到 b，再验证函数恒等式。
• 第（3）问把 \(f\prime(x)\) 的分子记为 h(x)，只研究 h 的符号，不必解出它的零点。
• 二阶导数只用来判断 \(h\prime\) 的先降后升，最后用无穷远行为保证变号。

1. （1）切线给出参数a=-1 时 f(1)=0，\(f\prime(1)=-\ln2\)，切线为 \(y=-\ln2(x-1)\)，即 \((\ln2)x+y-\ln2=0\)。
2. （2）先定对称轴令 \(g(x)=f(1/x)=(x+a)\ln((x+1)/x)\)，定义域为 \((-∞,-1)\cup(0,+∞)\)。定义域关于 x=b 对称，故 b=-1/2。代入 g(-1-x)=g(x) 得 a=1/2；反代可验证成立。
3. （3）把零点设而不求\(f\prime(x)=h(x)/[x^2(1+x)]\)，其中 \(h(x)=x+ax^2-(1+x)\ln(1+x)\)，\(h(0)=0\)，\(h\prime(0)=0\)，\(h\prime(x)=2ax-\ln(1+x)\)，\(h\prime\prime(x)=2a-1/(1+x)\)。
4. （3）分类看 h 是否变号a≤0 时 \(h\prime<0\)，h<0；a≥1/2 时 \(h\prime>0\)，h>0。若 0<a<1/2，\(h\prime\) 先减后增，h 先负；又 h(x)/x^2→a>0，所以 h 后转正。故 h 必变号，f 有极值。

答案：（1）\((\ln2)x+y-\ln2=0\)；（2）存在且 \(a=1/2,b=-1/2\)；（3）\(a\in(0,1/2)\)。

回头检验：取 a=1/4 时 \(h(2)=3-3\ln3<0\)、\(h(10)=35-11\ln11>0\)；a=1/2 时 h(x)>0，边界不入范围。

容易错在：不能把“存在极值”误写成求出极值点；本题只需设 h 的变号零点而不求其具体值。

• 切线同时给出函数值和导数值。
• 第（2）问把差减去 \(m\) 后研究关于 \(x\) 的单调性；注意 \(x=0\) 不在条件内。
• 第（3）问把线性项消掉。压轴拓展：对对称差多次求导，先试参数边界。

1. （1）切线给两个方程\(f(0)=b=1\)，\(f\prime(0)=1+a=-2\)，故 \(a=-3,b=1\)。以下 \(f(x)=x\mathrm e^x-3x+1\)。
2. （2）排除非正参数令 \(D_m(x)=f(x+m)-f(x)-m=\mathrm e^x[(\mathrm e^m-1)x+m\mathrm e^m]-4m\)。\(m=0\) 时恒为零，不满足严格大于零的要求；\(m<0\) 时，\(x\to+\infty\) 有 \(D_m(x)\to-\infty\)，也不符合条件。
3. （2）正参数的充要条件若 \(m>0\)，\(D_m\prime(x)=\mathrm e^x[(\mathrm e^m-1)(x+1)+m\mathrm e^m]>0\)。在正半轴恒正，当且仅当 \(D_m(0)=m(\mathrm e^m-4)\ge0\)。端点处可以等于零，因为题目只要求 \(x>0\) 时恒正。所以 \(m\ge\ln4\)。
4. （3）充分性与取到对称差等于 \(\mathrm e^k H_k(x)\)，其中 \(H_k(x)=(k+x)\mathrm e^x+(k-x)\mathrm e^{-x}-2k\)。\(H_k(0)=H_k\prime(0)=0\)。取 \(k=-2\) 时，\(H_{-2}^{\prime\prime}(x)=x(\mathrm e^x-\mathrm e^{-x})>0\)（\(x>0\)），故依次推出一阶导数和函数都大于零。\(k>-2\) 时再加上 \((k+2)(\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}-2)>0\)，仍成立。
5. （3）必要性\(k<-2\) 时，\(H_k^{\prime\prime}(0)=2(k+2)<0\)。由连续性，在足够小的正区间二阶导数为负；由初始值为零，依次推出一阶导数、函数值为负，与题设矛盾。因此最小值为 \(-2\)。

答案：（1）\(a=-3,b=1\)；（2）\(m\in[\ln4,+\infty)\)；（3）\(k\) 的最小值为 \(-2\)。

回头检验：\(m=\ln4\) 时 \(D_m(0)=0\) 但 \(D_m(x)>0\) 对每个 \(x>0\) 成立；\(k=-2\) 时二阶导数在正半轴严格为正，最小参数也取得到。

容易错在：不能用开区间边界的等号排除合法参数；第（3）问不能只检查某几个正数。

• 切点同时给出函数值和导数值。
• 对 \(g=f\prime\) 再求导并因式分解，先列出 g 的单调区间。
• 极值点个数等于 g 的变号零点个数；每段都要用具体函数值证明存在性。

1. （1）切线条件切点在 y=-x+1 上给出 f(1)=0，即 a+b=0；又 \(f\prime(1)=-1\)，得 a=-1,b=1。
2. （2）研究 g 的单调性此时 \(g(x)=1-(3x^2-x^3)\mathrm e^{1-x}\)，\(g\prime(x)=-x(x^2-6x+6)\mathrm e^{1-x}\)。根为 \(0、3-\sqrt3、3+\sqrt3\)，故 g 在四段上的增减依次为增、减、增、减。
3. （3）用点值数零点\(g(-1)=1-4\mathrm e^2<0<g(0)=1\)；\(g(1)=-1\)，且 \(g(3)=1\)。于是前三个单调段各有且仅有一个变号零点。
4. （3）排除最后一段x>3 时 3x^2-x^3<0，所以 g(x)>1；最后一段没有零点。故 g 有 3 个变号零点，f 有 3 个极值点。

答案：（1）a=-1,b=1；（2）g 增区间 \((-∞,0)、(3-\sqrt3,3+\sqrt3)\)，减区间 \((0,3-\sqrt3)、(3+\sqrt3,+∞)\)；（3）3 个极值点。

回头检验：\(g(3-\sqrt3)≈-1.13\)、\(g(3+\sqrt3)≈1.93\)，数值符号与三次变号结论一致。

容易错在：只列 g 的单调区间不能自动得到零点个数；每段必须给出端点或特殊点符号。

• 函数恒正，先研究其对数，单调性不变。
• 第（2）问先分 \(0<a<1\) 和 \(a>1\)；有极大值并不等于有两个交点。

1. （1）研究对数令 \(h(x)=\ln f(x)=2\ln x-x\ln2\)，\(h\prime(x)=2/x-\ln2\)。所以 \(f\) 在 \((0,2/\ln2)\) 递增，在 \((2/\ln2,+\infty)\) 递减。
2. （2）先分参数一般地 \(h(x)=a\ln x-x\ln a\)。当 \(0<a<1\) 时，\(h\prime(x)=a/x-\ln a>0\)，且 \(h(a)=0\)，只有一个交点。
3. （2）比较极大值与零当 \(a>1\) 时，\(h\) 在 \(x_*=a/\ln a\) 处取得最大值，两端趋于负无穷。由 \(a-\mathrm e\ln a\ge0\)（对左端求导，最小值在 \(a=\mathrm e\) 处取得）得 \(x_*\ge\mathrm e\)，故 \(h(x_*)=a(\ln x_*-1)\ge0\)，等号恰在 \(a=\mathrm e\) 成立。
4. （2）数交点当 \(a>1\) 且 \(a\ne\mathrm e\) 时，最大值严格大于零，增减两段各有一个零点。当 \(a=\mathrm e\) 时只有最大值点一个零点。因此 \(a\in(1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

答案：（1）增区间 \((0,2/\ln2)\)，减区间 \((2/\ln2,+\infty)\)；（2）\((1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

回头检验：\(a=2\) 时 \(x=2,4\) 都使 \(f(x)=1\)；\(a=\mathrm e\) 时只在 \(x=\mathrm e\) 接触直线。\(a=1\) 已被题设排除。

容易错在：不能把极大值等于 1 时的相切算成两个交点；取对数前要说明函数恒正。

本题用到的方法：对数化简求导、导数符号与参数分类

• 设三次曲线切点横坐标为 \(t\)，抛物线切点横坐标为 \(u\)；不要把它们当成同一个数。
• 同一条直线的斜率与截距都相同，消去 \(u\) 后再求参数的范围。

1. 同斜率、同截距三次曲线在 \(t\) 处的切线是 \(y=(3t^2-1)x-2t^3\)；抛物线在 \(u\) 处的切线是 \(y=2ux+a-u^2\)。故 \(u=(3t^2-1)/2\)，\(a=u^2-2t^3\)。
2. （1）代入指定切点\(t=-1\) 时 \(u=1\)，于是 \(a=1+2=3\)。两条切线均为 \(y=2x+2\)。
3. （2）参数变成函数值域令 \(A(t)=(9t^4-8t^3-6t^2+1)/4\)，则 \(A\prime(t)=3t(3t+1)(t-1)\)。驻点为 \(-1/3,0,1\)，对应函数值为 \(5/27,1/4,-1\)。
4. （2）核对全局与取得到导数符号从左到右为负、正、负、正，且 \(t\to\pm\infty\) 时 \(A(t)\to+\infty\)。最小值为 \(-1\)，在 \(t=1\) 处取得。右侧递增分支连续，值域为 \([-1,+\infty)\)，其中每个值都对应一条公切线。

答案：（1）\(a=3\)；（2）\(a\in[-1,+\infty)\)。

回头检验：最小值 \(a=-1\) 时，\(t=u=1\)，两曲线的切线都是 \(y=2x-2\)，所以端点符合题意。

容易错在：只令导数相同还不够，还须让切线截距相同；比较各局部极小值后才能认定全局最小值。

本题用到的方法：对数化简求导、导数符号与参数分类

• 先用 \(0\in A\) 和 \(A\subseteq B\)，确定参数只有哪些候选。
• 候选还要使 \(-a\) 也属于 \(B\)；不要只验一个元素。

1. 固定元素先缩小范围因为 \(0\in A\subseteq B\)，且 \(1\ne0\)，所以 \(a-2=0\) 或 \(2a-2=0\)。候选是 \(a=2\) 或 \(a=1\)。
2. 逐个候选代回当 \(a=2\) 时，\(A=\{0,-2\}\)，\(B=\{1,0,2\}\)，\(-2\notin B\)，排除。当 \(a=1\) 时，\(A=\{0,-1\}\)，\(B=\{1,-1,0\}\)，包含成立。

答案：B，\(a=1\)。

回头检验：若 \(a=0\)，原列举式 \(A=\{0,0\}\) 与 \(B=\{1,-2,-2\}\) 均出现重复元素，违背互异性，必须舍去。候选参数还须逐项检验包含关系。

容易错在：把必要条件当成充分条件，只验了固定元素就停笔。

本题用到的方法：集合包含逐元素检验、函数关系翻译

• 分别记题目前后两句话为 \(P,Q\)，把 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(Q\Rightarrow P\) 分开判断。
• 平方会丢掉符号；用一个简单角度组合检查反向推理。

1. 证明必要性记 \(P:\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，\(Q:\sin\alpha+\cos\beta=0\)。由 \(Q\) 得 \(\sin\alpha=-\cos\beta\)，平方后 \(\sin^2\alpha=\cos^2\beta=1-\sin^2\beta\)，所以 \(Q\Rightarrow P\)。
2. 反例否定充分性取 \(\alpha=\pi/2,\beta=0\)，则 \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，但 \(\sin\alpha+\cos\beta=2\ne0\)。故 \(P\) 成立不能保证 \(Q\)。

答案：B，必要条件但不是充分条件。

回头检验：条件 \(P\) 等价于 \(|\sin\alpha|=|\cos\beta|\)，只控制绝对值；\(Q\) 还要求两者互为相反数。

容易错在：只看到平方后的等式相同，就把两个方向都判为成立。

本题用到的方法：集合包含逐元素检验、函数关系翻译

• 题目给了长轴和离心率，标准方程中先确定哪个参数？
• 椭圆离心率满足 \(e=c/a\)，焦半距还需要由长半轴换算。
• 用 \(c^2=a^2-b^2\) 求出 \(b^2\)，再代回标准方程。

1. 由长轴定长半轴长轴长为4，所以 \(a=2\)。
2. 由离心率求焦半距\(c/a=\sqrt2/2\)，故 \(c=\sqrt2\)。
3. 求短半轴并写方程\(b^2=a^2-c^2=4-2=2\)，所以 \(C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\)。

答案：\(C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\)。

回头检验：\(a=2>b=\sqrt2>0\)，且 \(c/a=\sqrt2/2\)，与题设一致。

容易错在：把长轴长4直接当成 \(a=4\)，或误用双曲线的 \(c^2=a^2+b^2\)。

• 先把二次方程配方，读出圆心和半径。
• 将 \(x-y\) 写成圆心处的值加上半径方向的线性变化。
• 用圆心到直线的距离或柯西不等式取最大值，并选对应选项。

1. 还原圆的几何信息原式化为 \((x-2)^2+(y-1)^2=9\)，圆心为 \((2,1)\)，半径为3。
2. 求线性式范围令 \(t=x-y\)，直线 \(x-y-t=0\) 与圆有公共点，所以 \(|1-t|/\sqrt2\le3\)，即 \(t\le1+3\sqrt2\)。

答案：C，最大值为 \(1+3\sqrt2\)。

回头检验：取等号时直线与圆相切，故上界确能取得。

容易错在：配方时把圆心坐标符号写反，或把线性式的系数长度漏掉 \(\sqrt2\)。

• 离心率和长轴先确定椭圆；竖直直线是否符合面积条件？
• 设 \(y=kx-2\)，面积可直接用 \(x_1,x_2\) 的差表示。

1. （1）先定椭圆\(a=2\)，\(c/a=\sqrt2/2\) 得 \(c=\sqrt2\)，\(b^2=a^2-c^2=2\)。所以 \(C:x^2/4+y^2/2=1\)。
2. （2）把面积化成坐标差竖直线 \(x=0\) 的面积为 0，排除。设 \(l:y=kx-2\)，两交点横坐标为 \(x_1,x_2\)。由三角形面积的坐标式得 \(S=|x_1(-2+kx_2)-x_2(-2+kx_1)|/2=|x_1-x_2|=\sqrt2\)。
3. （2）联立与韦达联立得 \((1+2k^2)x^2-8kx+4=0\)，所以 \((x_1-x_2)^2=16(2k^2-1)/(1+2k^2)^2=2\)。令 \(u=2k^2\)，整理得 \((u-3)^2=0\)，即 \(k^2=3/2\)。
4. （2）求长度并检查此时判别式 \(16(2k^2-1)=32>0\)，两交点确实不同。\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{5/2}\sqrt2=\sqrt5\)。

答案：（1）\(x^2/4+y^2/2=1\)；（2）\(|AB|=\sqrt5\)。

回头检验：\(k^2=3/2\) 时原二次方程两根差的平方为 2，面积确为 \(\sqrt2\)。正负两种斜率关于纵轴对称，弦长一致。

容易错在：横坐标差不是斜弦长；相切时只有一个交点，不满足题目要求的两个交点。

• 左顶点是 \((-a,0)\)，先用斜率求 \(a\)。
• 用三角形面积的坐标式写面积，再将椭圆坐标按半轴缩放到单位圆。

1. （1）由点和斜率定半轴\(3/(2+a)=1/2\)，得 \(a=4\)。将 \(M(2,3)\) 代入椭圆得 \(b^2=12\)，故 \(C:x^2/16+y^2/12=1\)。
2. （2）面积化成线性式设 \(N(x,y)\) 在椭圆上，则 \(S_{AMN}=|6y-3(x+4)|/2=\frac32|2y-x-4|\)。
3. （2）估计上界写 \(x=4u,y=2\sqrt3v\)，其中 \(u^2+v^2=1\)。由 \((-u+\sqrt3v)^2\le(1+3)(u^2+v^2)=4\) 得 \(L=2y-x\in[-8,8]\)，故 \(|L-4|\le12\)，面积不超过 18。
4. （2）证明取得到取 \(u=1/2,v=-\sqrt3/2\)，即 \(N(2,-3)\)，确在椭圆上，\(L=-8\)，面积为 18。因此最大值是 18，取等点就是上面的点。

答案：（1）\(x^2/16+y^2/12=1\)；（2）面积最大值为 \(18\)，在 \(N(2,-3)\) 处取得。

回头检验：\(M(2,3),N(2,-3)\) 给竖直底边 \(MN=6\)，点 \(A(-4,0)\) 到该直线距离为 6，面积 \(6\times6/2=18\)。

容易错在：绝对值线性式的最大值未必来自线性式本身的最大值；两端都要比较，并给出椭圆上的取等点。

• 先求出 \(a^2,b^2\)；相切的点只能在圆的右半边。
• 压轴拓展：用单位法向量表示切线，既包含竖直线，也便于用根差求弦长。

1. （1）定椭圆\(c=\sqrt2\)，\(c/a=\sqrt6/3\)，得 \(a^2=3,b^2=1\)。所以 \(C:x^2/3+y^2=1\)。
2. （2）统一表示所有允许直线设切点为 \((u,v)\)，其中 \(u^2+v^2=1,u>0\)，切线为 \(ux+vy=1\)。取单位方向向量 \((-v,u)\)，弦上点写成 \((x,y)=(u,v)+t(-v,u)\)。这也覆盖 \(v=0\) 的竖直切线。
3. （2）由根差算弦长代入椭圆，\(t\) 的方程为 \((1+2u^2)t^2+4uvt-2u^2=0\)。判别式为 \(24u^2>0\)，方向向量单位长，故 \(|MN|^2=24u^2/(1+2u^2)^2\)。
4. （2）把两边化成同一条件点 \(F(\sqrt2,0)\) 在直线上当且仅当 \(u\sqrt2=1\)，即 \(u=1/\sqrt2\)。另一方面，\(|MN|=\sqrt3\) 当且仅当 \((1+2u^2)^2=8u^2\)，即 \((2u^2-1)^2=0\)，结合 \(u>0\) 也等价于 \(u=1/\sqrt2\)。所以两者互为充要条件。

答案：（1）\(x^2/3+y^2=1\)；（2）两条件均等价于切线单位法向量的横坐标为 \(1/\sqrt2\)，充要性成立。

回头检验：取 \((u,v)=(1/\sqrt2,1/\sqrt2)\)，切线为 \(x+y=\sqrt2\)，经过 \(F\)，弦长平方为 \(24(1/2)/4=3\)。竖直切线 \(x=1\) 弦长平方 \(8/3\)，不满足任一条件。

容易错在：只用斜率式会漏竖直线；允许的切点要求横坐标严格为正，不能包含左半圆或端点。

• 先把定点代入求双曲线；设 \(AP,AQ\) 的斜率为 \(r,-r\)。
• 联立时已知一个根是 2，只求另一个根；注意二次项系数为零的情形。
• 夹角的正切需检查角为锐角，不能只套绝对值公式。

1. 先定曲线并排除退化由 \(4/a^2-1/(a^2-1)=1\) 得 \((a^2-2)^2=0\)，所以 \(C:x^2/2-y^2=1\)。设 \(AP,AQ\) 的斜率为 \(r,-r\)。两点不同要求 \(r\ne0\)，渐近方向要求 \(r^2\ne1/2\)，切点与 \(A\) 不重合要求 \(r\ne\pm1\)。
2. （1）求两交点相对于定点的横坐标差联立 \(y-1=r(x-2)\)，去掉已知根 \(x=2\)，得 \(U=x_P-2=4(r-1)/(1-2r^2)\)。同理 \(V=x_Q-2=-4(r+1)/(1-2r^2)\)。故 \(k_l=(rU+rV)/(U-V)=-1\)。
3. （2）先查角的符号\(\overrightarrow{AP}=(U,rU),\overrightarrow{AQ}=(V,-rV)\)，且 \(UV=16(1-r^2)/(1-2r^2)^2\)。点积 \(UV(1-r^2)>0\)，所以角为锐角。于是 \(\tan\angle PAQ=2|r|/|1-r^2|=2\sqrt2\)。
4. （2）求值并排除假解平方后 \(2r^4-5r^2+2=0\)，得 \(r^2=2\) 或 \(1/2\)。后者是渐近方向，不能有题设的另一交点，必须排除。\(r^2=2\) 合法，面积 \(S=|rUV|=16\sqrt2/9\)。

答案：（1）\(l\) 的斜率为 \(-1\)；（2）\(S_{PAQ}=16\sqrt2/9\)。

回头检验：\(r=\sqrt2\) 时，\(U=4(1-\sqrt2)/3,V=4(1+\sqrt2)/3\)，\(UV=-16/9\)，面积 \(|rUV|=16\sqrt2/9\)。两点代回双曲线成立，\(l\) 的斜率确为 −1。

容易错在：方程最高次项系数为零时不能套韦达；平方得到的候选斜率必须返回几何条件检查。

• 过原点的另一交点是 \(R=-P\)。把面积比写成两个交点纵坐标的比。
• 第（ii）问用坐标乘积之差的绝对值除以点积求正切，先确认点积为正。
• 把结果化为 \(Ak+B/k\) 后，还要验证取等斜率满足题设。

1. （1）确定椭圆\(c=1,e=1/2\) 得 \(a=2,b^2=3\)，所以 \(C:x^2/4+y^2/3=1\)。设 \(l:y=k(x+1)\)，其中 \(k>0\)，交点按 \(x_P>x_Q\) 排列，\(y_P>0>y_Q\)。
2. （i）面积比变成根比\(R=-P\)，由三角形面积的坐标式，有 \(S_{PQR}=|x_Py_Q-x_Qy_P|=y_P-y_Q\)，\(S_{PFO}=y_P/2\)。面积比为 3 给 \(y_Q=-y_P/2\)。联立得 \((3+4k^2)y^2-6ky-9k^2=0\)。根和给 \(y_P=12k/(3+4k^2)\)，根积再给 \(3+4k^2=8\)，所以 \(k=\sqrt5/2\)，直线为 \(y=\frac{\sqrt5}{2}(x+1)\)。
3. （ii）用点积判断角令 \(d=x_P-x_Q>0\)。椭圆上 \(x^2+y^2=3+x^2/4\)，且两交点横坐标和为 \(-8k^2/(3+4k^2)\)。所以 \(\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=|Q|^2-|P|^2=2k^2d/(3+4k^2)>0\)，夹角为锐角。
4. （ii）求正切及可达下界两向量的坐标乘积之差的绝对值为 \(2|x_Py_Q-x_Qy_P|=2kd\)，因此 \(\tan\angle PQR=4k+3/k\ge4\sqrt3\)。等号当且仅当 \(k=\sqrt3/2>0\)。这条线过椭圆内部的焦点，有两个不同交点且较左交点在第三象限，所以此时能取到下界。

答案：（1）\(x^2/4+y^2/3=1\)；（i）\(y=\frac{\sqrt5}{2}(x+1)\)；（ii）正切的最小值为 \(4\sqrt3\)，在 \(k=\sqrt3/2\) 取得。

回头检验：面积比条件要求 \(y_Q/y_P=-1/2\)，代入两根和积恰得 \(3+4k^2=8\)。最值点 \(k=\sqrt3/2\) 时 \(4k=3/k=2\sqrt3\)，相等且均为正。

容易错在：题目指定 \(Q\) 在第三象限；若只用斜率正切公式而不检查点积，容易把补角当成原角。

• 先由通径长度求半轴，设 \(t=t_0,A(u,v)\)。
• \(P=\lambda A\) 又在 \(GB\) 上，先求 \(\lambda\)；分母为零时几何上发生了什么？
• 压轴拓展：中心不仅要保留二次曲线，还要让轨迹删掉的点成对对称。

1. （1）由焦点弦确定椭圆令 \(c^2=a^2-1\)，在 \(x=c\) 上有 \(y=\pm1/a\)，所以 \(2/a=\sqrt2\)，得 \(a^2=2,c=1,e=\sqrt2/2\)。椭圆为 \(x^2/2+y^2=1\)。
2. （i）先求交点记 \(t=t_0\ne0,A(u,v)\)，\(v\ne0\)。由 \(P=\lambda(u,v)\) 和 \(P\in GB\) 得 \(\lambda u=t(1-\lambda)\)，故 \(P=(tu/(u+t),tv/(u+t))\)。\(u=-t\) 时两直线平行无交点，要排除。
3. （i）消元并证明充分由 \(u=tx/(t-x),v=ty/(t-x)\) 得轨迹 \((t^2-2)x^2+2t^2y^2+4tx-2t^2=0,\ y\ne0\)。此方程不可能有 \(x=t\)（代入得到 \(t^4+2t^2y^2>0\)）。反过来，取方程上任意一个 \(y\ne0\) 的点，按前面的逆式求 \(A\)，有 \(u^2/2+v^2=1,v\ne0,u\ne-t\)，满足原来的条件。因此方程中每个保留的点都在轨迹上。
4. （ii）有中心的两类若 \(t^2\ne2\)，令 \(D=t^2-2\)，配方得中心 \(H(-2t/D,0)\)。平移后 \(X=x+2t/D,Y=y\)，方程为 \(D^2X^2+2t^2DY^2=2t^4,\ Y\ne0\)。删掉的两个横轴交点关于 \(H\) 对称，所以实际轨迹仍有中心。
5. （ii）给出图形与无中心情形\(|t|>\sqrt2\) 时是椭圆去掉左右两个顶点；\(0<|t|<\sqrt2\) 时是双曲线去掉两个顶点。若 \(t=\pm\sqrt2\)，方程为 \(y^2=1-tx,\ y\ne0\)，是抛物线去掉顶点，不存在中心：若存在中心，竖直截线的两个点必须映成另一个竖直截线的两个点，迫使中点的纵坐标为零；横坐标关于中心反射却会把无界的一侧变为另一侧，不能保持这条抛物线。

答案：（1）\(e=\sqrt2/2\)；（i）\((t_0^2-2)x^2+2t_0^2y^2+4t_0x-2t_0^2=0,\ y\ne0\)；（ii）当且仅当 \(t_0\ne0,\pm\sqrt2\) 有中心 \((-2t_0/(t_0^2-2),0)\)。平移后的图形按 \(|t_0|>\sqrt2\) 和 \(|t_0|<\sqrt2\) 分别为椭圆和双曲线，各去掉两个顶点。

回头检验：\(t=2\) 时中心 \((-2,0)\)，平移后 \(X^2/8+Y^2/2=1,Y\ne0\)；\(t=1\) 时中心 \((2,0)\)，平移后 \(X^2/2-Y^2=1,Y\ne0\)。两类的删点都成中心对称的一对。

容易错在：消元只给必要条件，须逆向验证；不能把两条平行线的情况补进轨迹，也不能把题设不允许的横轴点补回来。

• 先由焦点和点A确定椭圆；特殊位置可先猜直线会经过哪里。
• 把交点横坐标当作同一个二次方程的两根，先求截距乘积，不必求出P、Q。
• 长度乘积要保留绝对值，再处理参数t的禁值。

1. 先定椭圆并观察候选点右焦点给出 \(c=1\)，点 \(A(0,1)\) 给出 \(b=1\)，所以 \(a^2=b^2+c^2=2\)，\(C:\frac{x^2}{2}+y^2=1\)。若最后得到 \(t=0\)，则 \(l\) 是过原点的直线；下面验证这个候选。
2. 联立但不求交点令 \(D=1+2k^2\)。将 \(y=kx+t\) 代入椭圆，交点横坐标 \(x_P,x_Q\) 是方程 \(Dx^2+4ktx+2(t^2-1)=0\) 的两根，因此 \(x_P+x_Q=-\frac{4kt}{D}\)，\(x_Px_Q=\frac{2(t^2-1)}{D}\)。
3. 把截距乘积写成t直线 \(AP\) 与 \(x\) 轴交点的横坐标为 \(x_M=\frac{x_P}{1-y_P}\)，同理 \(x_N=\frac{x_Q}{1-y_Q}\)。由 \(y_i=kx_i+t\) 和上面的根和、根积，\((1-y_P)(1-y_Q)=\frac{(1-t)^2}{D}\)，故 \(x_Mx_N=\frac{2(t+1)}{t-1}\)。
4. 由定值推出定点因为 \(|OM|\cdot|ON|=|x_Mx_N|=2\)，有 \(|t+1|=|t-1|\)。平方后得 \(t=0\)（题设已排除 \(t=\pm1\)），于是 \(l:y=kx\)，所有可能的直线都经过定点 \(O(0,0)\)。

答案：（1）\(C:\frac{x^2}{2}+y^2=1\)；（2）\(t=0\)，所以直线 \(l\) 恒过定点 \(O(0,0)\)。

回头检验：取任意使直线与椭圆有两个交点的有限斜率 \(k\)，令 \(t=0\) 得 \(x_Mx_N=-2\)，故长度乘积为2；直线确实经过原点。

容易错在：OM、ON是长度，截距乘积必须取绝对值；还要保留题设的t不等于正负1，避免把分母为零的情形混入。

• 先由点A和离心率定出椭圆；把过\((-2,3)\)的直线改写成关于 \(u=x+2\) 的式子。
• 直线AP与y轴交点的纵坐标可写成 \(2k+6/u\)，再用两根的和与积。
• 先确认判别式大于零，保证P、Q确实是两个不同点。

1. 确定曲线并设动线点 \(A(-2,0)\) 给出 \(b=2\)。由 \(e=c/a=\sqrt5/3\) 和 \(b^2=a^2-c^2\)，得 \(a^2=9\)，故 \(C:\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1\)。竖直线 \(x=-2\) 只有切点A，不合两交点条件；设动线为 \(y-3=k(x+2)\)。
2. 把交点平移到A附近令 \(u=x+2\)，则 \(x=u-2,y=ku+3\)。代入曲线得 \((4k^2+9)u^2+(24k-36)u+36=0\)。设P、Q对应根为 \(u_1,u_2\)，则 \(u_1+u_2=\frac{36-24k}{4k^2+9}\)，\(u_1u_2=\frac{36}{4k^2+9}\)。两根都不为0，因为P、Q不等于A。 判别式为 \(\Delta=-1728k\)，题设有两个交点时 \(k<0\)。
3. 写出M、N的纵坐标若交点对应 \((u_i,ku_i+3)\)，直线A到该点再延长到 \(y\) 轴，得到纵坐标 \(2(ku_i+3)/u_i=2k+6/u_i\)。所以 \(y_M+y_N=4k+6\frac{u_1+u_2}{u_1u_2}=4k+6\frac{36-24k}{36}=6\)。
4. 得到不动的中点M、N都在 \(y\) 轴上，故 \(MN\) 的中点为 \(\left(0,\frac{y_M+y_N}{2}\right)=(0,3)\)，与动线斜率无关，是定点。

答案：椭圆为 \(\dfrac{y^2}{9}+\dfrac{x^2}{4}=1\)，且 \(MN\) 的中点恒为定点 \((0,3)\)。

回头检验：取 \(k=-1\) 与 \(k=-3\)，两次计算都得到 \(y_M+y_N=6\)；例如 \(k=-1\) 时判别式为正，确有两个交点。

容易错在：不要把椭圆的长半轴误认成2；也不要直接使用x坐标的根和、根积而忘记先作平移 \(u=x+2\)。

• （1）点积条件里只有一个未知数。（2）要证的定点还不知道在哪里：图形有什么对称性？定点可能落在哪条线上？
• P 的位置只由一个数 t 决定；两条割线各过一个已知顶点，联立后有一个根已经知道，另一个根用根积就能写出来。
• 先猜后证：找一个让 C、D 横坐标相等的 t，此时 CD 竖直，它和对称轴的交点就是候选定点；再证这个点与 C、D 连线的斜率相等。

1. 求椭圆\(A(-a,0),B(a,0),G(0,1)\)，\(\overrightarrow{AG}=(a,1)\)，\(\overrightarrow{GB}=(a,-1)\)，点积 \(a^2-1=8\)，又 \(a>1\)，所以 \(a=3\)，\(E:\dfrac{x^2}9+y^2=1\)。
2. 用已知根写出 C、D设 \(P(6,t)\)。\(PA:y=\dfrac t9(x+3)\)，代入椭圆得 \((9+t^2)x^2+6t^2x+9t^2-81=0\)，一根是 \(-3\)，由根积得 \(x_C=\dfrac{3(9-t^2)}{9+t^2}\)，\(y_C=\dfrac{6t}{9+t^2}\)。\(PB:y=\dfrac t3(x-3)\)，代入得 \((1+t^2)x^2-6t^2x+9t^2-9=0\)，一根是 3，得 \(x_D=\dfrac{3(t^2-1)}{1+t^2}\)，\(y_D=\dfrac{-2t}{1+t^2}\)。
3. 特殊位置猜点把 \(t\) 换成 \(-t\)，整个图形关于 \(x\) 轴翻折，所以定点应在 \(x\) 轴上。令 \(x_C=x_D\)，即 \((9-t^2)(1+t^2)=(t^2-1)(9+t^2)\)，化简得 \(t^4=9\)，\(t^2=3\)。此时 \(CD\) 是直线 \(x=\dfrac32\)，候选定点 \(Q\left(\dfrac32,0\right)\)。
4. 一般位置证明\(t^2\ne3\) 时，\(x_C-\dfrac32=\dfrac{9(3-t^2)}{2(9+t^2)}\)，\(k_{QC}=\dfrac{y_C}{x_C-\frac32}=\dfrac{4t}{3(3-t^2)}\)；\(x_D-\dfrac32=\dfrac{3(t^2-3)}{2(1+t^2)}\)，\(k_{QD}=\dfrac{4t}{3(3-t^2)}\)。两斜率相等，\(Q,C,D\) 共线。\(t=0\) 时 \(C,D\) 就是 \(B,A\)，\(CD\) 为 \(x\) 轴，也过 \(Q\)。所以直线 \(CD\) 过定点 \(\left(\dfrac32,0\right)\)。

答案：（1）\(E:\dfrac{x^2}9+y^2=1\)；（2）直线 \(CD\) 过定点 \(\left(\dfrac32,0\right)\)。

回头检验：取 \(t=3\)：\(C(0,1)\)，\(D\left(\dfrac{12}5,-\dfrac35\right)\)，直线 \(CD\) 为 \(y=1-\dfrac23x\)，令 \(y=0\) 得 \(x=\dfrac32\)，与结论一致。

容易错在：联立后不必用求根公式，已知一个根是顶点，用根积一步得到另一根；\(t^2=3\) 时 \(CD\) 竖直、斜率不存在，要单独说明。

• （Ⅱ）要证的是圆过 y 轴上的点，最后要令哪个坐标为 0？写圆的方程需要知道 A、B 的什么？
• A、B 的纵坐标已经固定，只有横坐标在变；它们由 M、N 的横坐标决定，而 M、N 的横坐标是同一个二次方程的两根。
• 用直径式圆方程 \((x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0\)，令 \(x=0\) 后只需要 \(x_Ax_B\) 这一个量。

1. 求抛物线代入 \((2,-1)\) 得 \(4=2p\)，\(p=2\)，\(C:x^2=-4y\)，焦点 \(F(0,-1)\)，准线 \(y=1\)。
2. 联立只取根积设 \(l:y=kx-1\ (k\ne0)\)，代入得 \(x^2+4kx-4=0\)，判别式 \(16k^2+16>0\)。\(M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)\) 满足 \(x_1x_2=-4\)，所以两根都不为 0。
3. 求 A、B 横坐标之积\(y_1=-\dfrac{x_1^2}4\)，所以 \(OM:y=\dfrac{y_1}{x_1}x=-\dfrac{x_1}4x\)，令 \(y=-1\) 得 \(x_A=\dfrac4{x_1}\)；同理 \(x_B=\dfrac4{x_2}\)。于是 \(x_Ax_B=\dfrac{16}{x_1x_2}=-4\)，与 \(k\) 无关。
4. 直径式圆方程令 x=0以 \(AB\) 为直径的圆是 \((x-x_A)(x-x_B)+(y+1)^2=0\)。令 \(x=0\) 得 \((y+1)^2=-x_Ax_B=4\)，\(y=1\) 或 \(y=-3\)。所以圆恒过 \((0,1)\) 和 \((0,-3)\)。

答案：（Ⅰ）\(C:x^2=-4y\)，准线 \(y=1\)；（Ⅱ）以 \(AB\) 为直径的圆恒过 \((0,1)\) 和 \((0,-3)\)。

回头检验：取 \(k=1\)：\(x_A=2\sqrt2+2\)，\(x_B=2-2\sqrt2\)，圆心 \((2,-1)\)，半径 \(2\sqrt2\)；点 \((0,1)\) 到圆心的距离 \(\sqrt{4+4}=2\sqrt2\)，确在圆上。又 \(x_Ax_B<0\)，\(A\)、\(B\) 在 \(y\) 轴两侧，圆一定与 \(y\) 轴有两个交点。

容易错在：抛物线开口向下，焦点在 \((0,-1)\)，直线 \(l\) 要设成过这一点；直线 \(OM\) 的斜率要用 \(y_1=-\dfrac{x_1^2}4\) 化成只含 \(x_1\) 的式子，不要同时保留两个变量。

• 先把获得冠军翻译成至少赢几个项目。
• 按乙赢得的项目数分类；三个项目的胜率不同，不能直接套同一参数的二项分布。

1. （1）至少赢两项记甲在三项中获胜的事件为 \(A_1,A_2,A_3\)。甲夺冠的概率等于恰赢两项与全赢的概率之和，即 \(0.5\times0.4\times0.2+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.4\times0.8=0.60\)。其中前两项分别对应甲负第三项、负第二项，第三项对应负第一项，末项对应全胜。
2. （2）列全乙的总分乙赢三项的概率为 \(0.5\times0.6\times0.2=0.06\)，一项也没赢的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8=0.16\)。乙恰赢一项的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.2=0.44\)，余下恰赢两项的概率为 \(1-0.16-0.44-0.06=0.34\)。
3. （2）写分布列和期望分布列为 \(\begin{array}{c|rrrr}X&0&10&20&30\\\hline P&0.16&0.44&0.34&0.06\end{array}\)。因此 \(E(X)=10\times0.44+20\times0.34+30\times0.06=13\) 分。

答案：（1）\(0.60\)；（2）\(X=0,10,20,30\) 的概率依次为 \(0.16,0.44,0.34,0.06\)，\(E(X)=13\) 分。

回头检验：分布列概率和为 1；乙的期望也等于三项期望相加：\(10(0.5+0.6+0.2)=13\) 分。甲夺冠恰好对应 \(X\le10\)，概率 \(0.16+0.44=0.60\)。

容易错在：甲的胜率与乙的胜率不能混用；每项独立不代表三项同分布。

本题用到的方法：独立事件分步相乘、分布列与期望

• 非优级品包含合格品和不合格品，合并后核对行列总数。
• 两车间是否有差异，与全厂改造后是否提高，是两个问题，要分别使用题给标准。

1. （1）合并类别按优级品、非优级品两列，甲车间一行为 \((26,24)\)，乙车间一行为 \((70,30)\)；行和为 50、100，列和为 96、54，总数为 150。
2. （1）与两个临界值比较代入得 \(K^2=150(26\times30-24\times70)^2/(50\times100\times96\times54)=4.6875\)。由于 \(3.841<4.6875<6.635\)，按题目给的标准，有 95% 的把握认为两车间的优级品率存在差异，但还达不到 99% 的把握。
3. （2）按改造前基准检验改造后的样本优级品率为 \(\overline p=96/150=0.64\)。题定阈值为 \(0.5+1.65\sqrt{0.5\times0.5/150}\approx0.56736\)。样本优级品率超过了题目给的阈值，所以按题目规定的规则，可以认为全厂优级品率提高了。

答案：（1）列联表两行为 \((26,24),(70,30)\)；能有 95% 的把握，不能有 99% 的把握。（2）按题定规则，能认为提高了。

回头检验：第（1）问的非优级品共 54 件，未把合格品排除；第（2）问使用全厂 150 件而不是单车间样本。两项统计判断的对象不同。

容易错在：没达到 99% 的把握不等于证明没有差异，也不能把一次统计判断说成绝对确定的因果结论。

本题用到的方法：独立事件分步相乘、分布列与期望

• 用第三项分别表示第二、四项，先解公比；题设对公比的限制要保留。
• 第（2）问先写出各乘积，把交错符号并入公比。

1. （1）用中间项求公比设公比为 \(q>1\)。由 \(a_3=8\)，得 \(a_2=8/q,a_4=8q\)，故 \(q+1/q=5/2\)，即 \((2q-1)(q-2)=0\)。排除 \(q=1/2\)，得 \(q=2\)。
2. （1）还原通项首项 \(a_1=8/2^2=2\)，所以 \(a_n=2^n\)，其中 \(n\in\mathbb N^*\)。
3. （2）把符号并入公比第 \(k\) 个加数为 \((-1)^{k-1}a_ka_{k+1}=8(-4)^{k-1}\)。这是首项为 8、公比为 −4 的等比数列，前 \(n\) 项和为 \(8[1-(-4)^n]/5\)。

答案：（1）\(a_n=2^n\)；（2）\(\dfrac{8[1-(-4)^n]}5\)。

回头检验：原条件：\(a_2+a_4=4+16=20,a_3=8\)。和式在 \(n=1,2\) 时为 \(8,-24\)，与直接相加一致。

容易错在：交错符号已经进入公比，求和公式不能再额外乘一次符号。

本题用到的方法：裂项求和、等差等比递推

• 先把原式乘以 \(n\)，再写 \(n+1\) 时的式子相减。
• 设首项求出通项后，用等比中项关系确定首项；最值的下标必须是正整数。

1. （1）相邻两式相减原式为 \(2S_n=2na_n-n(n-1)\)。将 \(n\) 换成 \(n+1\)，利用 \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) 相减，得到 \(n(a_{n+1}-a_n)=n\)。因 \(n\ge1\)，公差为 1。
2. （2）定出首项设 \(a_1=A\)，则 \(a_4=A+3,a_7=A+6,a_9=A+8\)。等比条件给 \((A+6)^2=(A+3)(A+8)\)，解得 \(A=-12\)，所以 \(a_n=n-13\)。所得三项 \(-9,-6,-4\) 确成等比数列。
3. （2）在正整数上取最小值\(S_n=n(n-25)/2=[(n-12)(n-13)-156]/2\)。对正整数 \(n\)，\((n-12)(n-13)\ge0\)，且恰在 \(n=12,13\) 为零。因此最小值为 \(-78\)，在这两个下标处都能取到。

答案：（1）公差为 1 的等差数列；（2）最小值 \(-78\)，在 \(n=12\) 和 \(n=13\) 取得。

回头检验：\(a_{12}=-1,a_{13}=0,a_{14}=1\)，所以 \(S_{12}=S_{13}=-78\)，随后增大。原式在 \(n=1\) 不限制首项，与推导一致。

容易错在：连续二次函数的顶点是半整数，不能直接把连续最小值当作数列的最小值；零项使相邻两项和相等。

本题用到的方法：裂项求和、等差等比递推

• 先把甲、乙答对的概率分别从频率换算出来。
• “恰有1人答对”包含甲对乙错、甲错乙对两种互斥路径。
• 随机变量人数的期望按 \(0,1,2\) 各取值的概率加权。

1. 换成概率甲、乙答对概率分别估计为 \(0.8\) 与 \(0.75\)，两次抽取独立。
2. 计算恰有一人\(P(X=1)=0.8\times0.25+0.2\times0.75=0.35\)。

答案：\(P(X=1)=0.35\)。

回头检验：甲对乙错与甲错乙对是两个互斥事件，概率分别为 \(0.8\times0.25\) 和 \(0.2\times0.75\)，相加为0.35。

容易错在：只计算了甲对乙错这一条路径，漏掉甲错乙对，或把期望写成概率总和。

• 先把“新订单超过1600份”的概率换成“不超过1600份”的概率。
• 需要完成的总订单还包括已有积压，志愿者提供的能力要和它比较。
• 设志愿者人数为 \(n\)，列出容量不小于订单总量的不等式并取最小整数。

1. 翻译概率条件第二天新订单不超过1600份的概率为 \(1-0.05=0.95\)，正好达到要求的概率阈值。
2. 列容量不等式在该事件内总任务量不超过 \(500+1600=2100\) 份；\(n\) 名志愿者和原有能力合计为 \(1200+50n\)。
3. 取最小整数由 \(1200+50n\ge2100\) 得 \(n\ge18\)，所以至少需要18名。

答案：B，18名。

回头检验：取 \(n=18\) 时能力为2100份，达到95%概率要求；少1名时只有2050份，不足阈值。

容易错在：把积压的500份漏掉，或将“超过1600”的0.05直接当成完成概率。

• 先分别列出两种方案的收益取值及概率，不要把两方案的概率混用。
• 方差可用 \(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\) 计算。
• 题目规定期望优先；只有期望相等时才看方差。

1. 方案甲\(E_A=10\times0.6=6\)，\(E(A^2)=100\times0.6=60\)，所以 \(D_A=60-6^2=24\)。
2. 方案乙\(E_B=8\times0.75=6\)，\(E(B^2)=64\times0.75=48\)，所以 \(D_B=48-6^2=12\)。
3. 按规则决策两方案期望都为6百元，方案乙方差12小于方案甲的24，因此选择方案乙。

答案：方案甲期望6百元、方差24；方案乙期望6百元、方差12；按规则选择方案乙。

回头检验：两方案概率各自相加为1；方差均非负，且乙的波动更小。

容易错在：看到甲的单次收益更高就直接选甲，忽略题目规定先比较期望再比较方差。

• 把“损失”按负数记入随机变量，不能把它当成正收益。
• 先求 \(E(X)\)，再用 \(E(X^2)-[E(X)]^2\) 求方差。
• 两个指标都比较：期望越大越好，方差越小表示波动越小。

1. 计算方案丙\(E_C=5\times0.8-1\times0.2=3.8\)。又 \(E(C^2)=25\times0.8+1\times0.2=20.2\)，所以 \(D_C=20.2-3.8^2=5.76\)。
2. 计算方案丁\(E_D=8\times0.5-2\times0.5=3\)。又 \(E(D^2)=64\times0.5+4\times0.5=34\)，所以 \(D_D=34-3^2=25\)。
3. 作出选择方案丙的期望3.8大于方案丁的3，方差5.76小于25，因此两项指标都更优，选择方案丙。

答案：方案丙期望3.8百元、方差5.76；方案丁期望3百元、方差25；选择方案丙。

回头检验：收益平方的期望为 \(20.2\) 与 \(34\)，分别减去期望平方后得到非负方差。

容易错在：把负收益平方仍写成负数，导致二阶矩和方差都算错。

• 先把获得冠军翻译成至少赢几个项目。
• 按乙赢得的项目数分类；三个项目的胜率不同，不能直接套同一参数的二项分布。

1. （1）至少赢两项记甲在三项中获胜的事件为 \(A_1,A_2,A_3\)。甲夺冠的概率等于恰赢两项与全赢的概率之和，即 \(0.5\times0.4\times0.2+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.4\times0.8=0.60\)。其中前两项分别对应甲负第三项、负第二项，第三项对应负第一项，末项对应全胜。
2. （2）列全乙的总分乙赢三项的概率为 \(0.5\times0.6\times0.2=0.06\)，一项也没赢的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8=0.16\)。乙恰赢一项的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.2=0.44\)，余下恰赢两项的概率为 \(1-0.16-0.44-0.06=0.34\)。
3. （2）写分布列和期望分布列为 \(\begin{array}{c|rrrr}X&0&10&20&30\\\hline P&0.16&0.44&0.34&0.06\end{array}\)。因此 \(E(X)=10\times0.44+20\times0.34+30\times0.06=13\) 分。

答案：（1）\(0.60\)；（2）\(X=0,10,20,30\) 的概率依次为 \(0.16,0.44,0.34,0.06\)，\(E(X)=13\) 分。

回头检验：分布列概率和为 1；乙的期望也等于三项期望相加：\(10(0.5+0.6+0.2)=13\) 分。甲夺冠恰好对应 \(X\le10\)，概率 \(0.16+0.44=0.60\)。

容易错在：甲的胜率与乙的胜率不能混用；每项独立不代表三项同分布。

• 非优级品包含合格品和不合格品，合并后核对行列总数。
• 两车间是否有差异，与全厂改造后是否提高，是两个问题，要分别使用题给标准。

1. （1）合并类别按优级品、非优级品两列，甲车间一行为 \((26,24)\)，乙车间一行为 \((70,30)\)；行和为 50、100，列和为 96、54，总数为 150。
2. （1）与两个临界值比较代入得 \(K^2=150(26\times30-24\times70)^2/(50\times100\times96\times54)=4.6875\)。由于 \(3.841<4.6875<6.635\)，按题目给的标准，有 95% 的把握认为两车间的优级品率存在差异，但还达不到 99% 的把握。
3. （2）按改造前基准检验改造后的样本优级品率为 \(\overline p=96/150=0.64\)。题定阈值为 \(0.5+1.65\sqrt{0.5\times0.5/150}\approx0.56736\)。样本优级品率超过了题目给的阈值，所以按题目规定的规则，可以认为全厂优级品率提高了。

答案：（1）列联表两行为 \((26,24),(70,30)\)；能有 95% 的把握，不能有 99% 的把握。（2）按题定规则，能认为提高了。

回头检验：第（1）问的非优级品共 54 件，未把合格品排除；第（2）问使用全厂 150 件而不是单车间样本。两项统计判断的对象不同。

容易错在：没达到 99% 的把握不等于证明没有差异，也不能把一次统计判断说成绝对确定的因果结论。

• 先回答 A 类时，总分的可取值是什么？答错首题后还能不能得分？
• 把两个顺序各自的路径列全，再比较期望；不要只比较第一题答对的概率。

1. （1）按停止路径列分布先答 A 类：首题错得 0 分，概率 \(0.2\)；首题对、第二题错得 20 分，概率 \(0.8\times0.4=0.32\)；两题都对得 100 分，概率 \(0.8\times0.6=0.48\)。分布列为 \(\begin{array}{c|rrr}X&0&20&100\\\hline P&0.20&0.32&0.48\end{array}\)。
2. （2）先答 A 的期望\(E_A=20\times0.32+100\times0.48=54.4\) 分。也可按两类题的得分贡献算为 \(20\times0.8+80\times0.8\times0.6\)。
3. （2）先答 B 的期望先答 B 类时得分为 0、80、100，概率依次为 \(0.4,0.6\times0.2=0.12,0.6\times0.8=0.48\)，所以 \(E_B=80\times0.12+100\times0.48=57.6\) 分。
4. （2）比较且说明取得允许的选择只有先 A 或先 B，且 \(57.6>54.4\)。故先答 B 类时取得最大期望 57.6 分。

答案：（1）\(X=0,20,100\) 的概率为 \(0.20,0.32,0.48\)；（2）应先答 B 类，期望为 57.6 分。

回头检验：两个顺序的满分概率同为 0.48，差别在只答对首题时的分数；两组分布各自的概率和都为 1。先答 B 类题，就能达到最大的期望得分。

容易错在：先 A 时不会只得 80 分，先 B 时不会只得 20 分；不能把两题无条件都可回答来求期望。

• 柱高乘组距才是频率；先验证所有矩形面积之和为 1。
• 记 D 为患病、C 为年龄在指定区间；图中给出的是患病条件下的年龄分布，题目最后问的方向相反。

1. （1）面积转频率九组的频率依次是 0.01、0.02、0.12、0.17、0.23、0.20、0.17、0.06、0.02，总和为 1。用组中值 5、15、…、85 加权，得平均年龄估计值 \(5\times0.01+15\times0.02+25\times0.12+35\times0.17+45\times0.23+55\times0.20+65\times0.17+75\times0.06+85\times0.02=47.9\) 岁。
2. （2）按区间合并面积\([20,70)\) 覆盖五组，所求估计值为 \(0.12+0.17+0.23+0.20+0.17=0.89\)。
3. （3）先恢复联合概率记 \(D\) 为患病，\(C\) 为年龄在 \([40,50)\)。图中估计 \(P(C\mid D)=0.23\)，题给 \(P(D)=0.001\)、\(P(C)=0.16\)。故联合概率估计为 \(P(C\cap D)=0.23\times0.001=0.00023\)。
4. （3）除以新条件的概率\(P(D\mid C)=P(C\cap D)/P(C)\)，估计值为 \(0.00023/0.16=0.0014375\)，精确到 0.0001 得 \(0.0014\)。

答案：（1）47.9 岁；（2）\(0.89\)；（3）\(0.0014\)。

回头检验：估计的联合概率 \(0.00023\) 不超过 \(P(D)=0.001\) 或 \(P(C)=0.16\)。最后结果是小数概率 0.0014，约为 0.14%，不是 0.0014%。

容易错在：柱高不是频率；患病率 0.1% 要化成 0.001；不能把 P(C|D) 直接当作 P(D|C)。

• X 小于 N 时最后一投必定投中；X 等于 N 时最后一投可能投中，也可能没投中。
• 先解释 X>k 对应前几投都没有投中，再用条件概率公式；自然数为零的情形也要覆盖。

1. （1）前三个取值令 \(q=1-p\)。\(j<N\) 时，\(X=j\) 表示前 \(j-1\) 次未中、第 \(j\) 次投中，所以 \(P(X=j)=q^{j-1}p\)。本问 \(N=4,p=1/3\)，故前三项概率为 \(1/3,2/9,4/27\)。
2. （1）末端合并两种结果\(X=4\) 当且仅当前三次均未中，第四次是否投中均会停止，所以 \(P(X=4)=(2/3)^3=8/27\)。分布列为 \(\begin{array}{c|rrrr}X&1&2&3&4\\\hline P&1/3&2/9&4/27&8/27\end{array}\)。
3. （2）（i）尾事件等价当 \(0\le k\le N-1\) 时，\(X>k\) 等价于前 \(k\) 次全部未中，故 \(P(X>k)=q^k\)。其中 \(k=0\) 时是必然事件，概率为 1，与 \(q^0=1\) 一致。
4. （2）（ii）用包含关系求条件概率因 \(0<p<1\)，有 \(q^k>0\)。又 \(X>k+m\) 包含于 \(X>k\)，且 \(k+m\le N-1\)，故 \(P(X>k+m\mid X>k)=q^{k+m}/q^k=q^m=P(X>m)\)。\(k=0\) 或 \(m=0\) 同样成立。

答案：（1）\(X=1,2,3,4\) 的概率依次为 \(1/3,2/9,4/27,8/27\)；（2）（i）\((1-p)^k\)；（ii）两边均为 \((1-p)^m\)。

回头检验：分布列总和为 \((9+6+4+8)/27=1\)。不能把关系延伸到上限外：\(P(X>N)=0\)，而 \(q^N>0\)。例如 \(k=N-1,m=1\) 不在（ii）的条件内。

容易错在：末次概率不能只写为前 N−1 次失败后第 N 次成功；有限截断的范围不能丢。

• 抽样分成病例组、对照组；它们各 100 人不代表总体中患病与未患病各占一半。
• 第（2）问先把条件概率比写成联合概率的比，再换用以 B 为条件的表达式。

1. （1）独立性检验四个频数为 \(40,60,10,90\)，行和为 \(100,100\)，列和为 \(50,150\)，总数为 200。计算得 \(K^2=200(40\times90-60\times10)^2/(100^2\times50\times150)=24\)。因 \(24>6.635\)，有 99% 的把握认为两群体的卫生习惯有差异。
2. （2）（i）把同条件的分母约去以下比值按题意有定义，相关分母均为正。记 \(u=P(A\cap B)\)、\(v=P(A\cap\overline B)\)、\(w=P(\overline A\cap B)\)、\(z=P(\overline A\cap\overline B)\)。则 \(P(B\mid A)/P(\overline B\mid A)=u/v\)，另一比值为 \(P(B\mid\overline A)/P(\overline B\mid\overline A)=w/z\)，故 \(R=uz/(vw)\)。
3. （2）（i）改以患病情况为条件另一方面，\(P(A\mid B)/P(\overline A\mid B)=u/w\)，且 \(P(\overline A\mid\overline B)/P(A\mid\overline B)=z/v\)。这两者乘积也为 \(uz/(vw)\)，故等式成立。无需假定总体患病率是 1/2。
4. （2）（ii）在各自组内估计病例组给出 \(P(A\mid B)\) 的估计为 \(40/100=0.4\)；对照组给出 \(P(A\mid\overline B)\) 的估计为 \(10/100=0.1\)。代入（i）得 \(\widehat R=(0.4/0.6)(0.9/0.1)=6\)。

答案：（1）能，\(K^2=24\)；（2）（i）两边均为 \(uz/(vw)\)；（ii）条件概率估计为 0.4、0.1，\(R\) 的估计值为 6。

回头检验：交叉相乘也得 (40×90)/(60×10)=6。病例组、对照组按设计各取 100 人，只能分别估计组内卫生习惯比例；6 是题目定义的比值，不表示一组的患病概率是另一组的六倍。

容易错在：不要从病例对照样本的行和反推总体患病率；两个赔率的比，不等于两个患病概率的比。

• 总共最多进行几场？把每个人累计负几场写在分支旁。
• 丙首轮轮空，不能直接用三人对称。只交换甲乙，先固定第一场甲赢，再列前三场所有可能的胜者序列。

1. （1）固定四次胜利路径甲连胜四场时，对手依次为乙、丙、乙、丙；乙在第三场被淘汰，丙在第四场被淘汰。每一步条件胜率均为 \(1/2\)，故概率为 \((1/2)^4=1/16\)。
2. （2）先确定总场数范围每场产生一次失利。比赛结束时有两人各累计负两场，冠军负 0 场或 1 场，所以总场数只能为 4 或 5。第四场就结束的胜者序列只有甲甲甲甲、乙乙乙乙、甲丙丙丙、乙丙丙丙，各概率 \(1/16\)。故需要第五场的概率为 \(1-4/16=3/4\)。
3. （3）用甲乙对称减半甲乙在初始赛制中地位相同，交换甲乙不改变丙夺冠的概率。先列第一场甲赢后的四种前三场胜者序列：甲甲甲、甲甲乙、甲丙丙、甲丙乙。每一种序列的无条件概率都是 \(1/8\)。
4. （3）逐状态算丙夺冠的条件概率甲甲甲后，乙已淘汰，丙负 1 场、甲负 0 场，丙必须连胜两场，条件概率 \(1/4\)。甲甲乙后，三人各负 1 场，丙必须先胜乙、再胜甲，条件概率 \(1/4\)。甲丙丙后，乙已淘汰，丙负 0 场、甲负 1 场，丙可下场直接胜，或先负再胜，条件概率 \(1/2+1/4=3/4\)。甲丙乙后，三人各负 1 场，下场甲乙对决、丙轮空，丙随后胜余下的一人即可，条件概率 \(1/2\)。
5. （3）合并互斥分支计入第一场乙赢的对称情形，丙最终获胜的概率为 \(2\times(1/8)\times(1/4+1/4+3/4+1/2)=7/16\)。

答案：（1）\(1/16\)；（2）\(3/4\)；（3）\(7/16\)。

回头检验：按每场胜者、轮空者和累计失利数枚举全部结束路径，4 场结束概率为 \(1/4\)，5 场结束概率为 \(3/4\)，总和为 1。甲乙对称，各自夺冠概率为 \(9/32\)，和丙的 \(7/16\) 相加也是 1。

容易错在：有轮空时三人并不完全对称；前三场胜者序列不能任写，必须依赛制逐场决定参赛者。

• 把甲胜球数记成二项随机变量，再将至少多 2 分转成胜球数条件。
• 第（3）问不要直接相减很长的二项和：增加一球时，哪些得分差会离开或进入目标事件？
• 先比较 2m 与 2m+1，再比较 2m+1 与 2m+2，最后用组合恒等式合并。

1. （1）分别列出允许胜球数3 球后至少领先 2 分，只能甲全胜，所以 \(p_3=p^3\)。4 球后甲胜 3 球或 4 球，故 \(p_4=4p^3q+p^4\)，其中 \(q=1-p\)。
2. （2）以对称式化简比值交换甲乙得 \(q_3=q^3\)、\(q_4=4q^3p+q^4\)。由 \(p+q=1\)，有 \(p_4-p_3=3p^3q\)、\(q_4-q_3=3q^3p>0\)。题设化成 \(p^2/q^2=4\)。因 \(p,q>0\)，得 \(p=2q\)，即 \(p=2/3\)。
3. （3）偶数到奇数：只看临界比分记 \(S_n\) 为前 \(n\) 球甲得分减乙得分，\(D_n=p_n-q_n\)。\(S_{2m}\) 为偶数。增加一球后，原来至少领先 2 分的事件只会因 \(S_{2m}=2\) 且甲输掉下一球而失去；落后事件同理。故 \(p_{2m+1}=p_{2m}-qP(S_{2m}=2)\)，\(q_{2m+1}=q_{2m}-pP(S_{2m}=-2)\)。
4. （3）第一段差严格为正由二项分布，\(P(S_{2m}=2)=\binom{2m}{m+1}p^{m+1}q^{m-1}\)，\(P(S_{2m}=-2)=\binom{2m}{m-1}p^{m-1}q^{m+1}\)。两个组合数相等，所以 \(D_{2m}-D_{2m+1}=\binom{2m}{m+1}(pq)^m(p-q)>0\)。这里 \(m\ge1\)、\(p>q>0\)。
5. （3）奇数到偶数：只看进入边界\(S_{2m+1}\) 为奇数。再加一球，领先事件增加的部分恰是 \(S_{2m+1}=1\) 且甲胜下一球；落后事件增加的部分恰是 \(S_{2m+1}=-1\) 且乙胜下一球。因此 \(D_{2m+2}-D_{2m+1}=\binom{2m+1}{m+1}(pq)^m(p^2-q^2)\)。由 \(p+q=1\)，末因子等于 \(p-q\)。
6. （3）合并两段并保留严格性相减得到 \(D_{2m+2}-D_{2m}=\big[\binom{2m+1}{m+1}-\binom{2m}{m+1}\big](pq)^m(p-q)\)，再用组合恒等式，化为 \(\binom{2m}{m}(pq)^m(p-q)>0\)。与第一段差合并，得 \(D_{2m+1}<D_{2m}<D_{2m+2}\)，即所证不等式。

答案：（1）\(p_3=p^3\)，\(p_4=4p^3(1-p)+p^4\)；（2）\(p=2/3\)；（3）两个严格差分别为 \(\binom{2m}{m+1}(pq)^m(p-q)\) 和 \(\binom{2m}{m}(pq)^m(p-q)\)，都为正。

回头检验：当 \(m=1\) 时，两段差分别为 \(pq(p-q)\)、\(2pq(p-q)\)。在题设开区间内都为正；\(p=1/2\) 或 \(p=1\) 时差为零，所以不能把这两个端点加进来。

容易错在：打奇数个球时，至少领先 2 分实际上就是至少领先 3 分；球数的奇偶性改变，胜出的边界也会变，不能直接说多打一球优势就增大。

• 先把获得冠军翻译成至少赢几个项目。
• 按乙赢得的项目数分类；三个项目的胜率不同，不能直接套同一参数的二项分布。

1. （1）至少赢两项记甲在三项中获胜的事件为 \(A_1,A_2,A_3\)。甲夺冠的概率等于恰赢两项与全赢的概率之和，即 \(0.5\times0.4\times0.2+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.4\times0.8=0.60\)。其中前两项分别对应甲负第三项、负第二项，第三项对应负第一项，末项对应全胜。
2. （2）列全乙的总分乙赢三项的概率为 \(0.5\times0.6\times0.2=0.06\)，一项也没赢的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8=0.16\)。乙恰赢一项的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.2=0.44\)，余下恰赢两项的概率为 \(1-0.16-0.44-0.06=0.34\)。
3. （2）写分布列和期望分布列为 \(\begin{array}{c|rrrr}X&0&10&20&30\\\hline P&0.16&0.44&0.34&0.06\end{array}\)。因此 \(E(X)=10\times0.44+20\times0.34+30\times0.06=13\) 分。

答案：（1）\(0.60\)；（2）\(X=0,10,20,30\) 的概率依次为 \(0.16,0.44,0.34,0.06\)，\(E(X)=13\) 分。

回头检验：分布列概率和为 1；乙的期望也等于三项期望相加：\(10(0.5+0.6+0.2)=13\) 分。甲夺冠恰好对应 \(X\le10\)，概率 \(0.16+0.44=0.60\)。

容易错在：甲的胜率与乙的胜率不能混用；每项独立不代表三项同分布。

本题用到的方法：独立事件分步相乘、分布列与期望

• 非优级品包含合格品和不合格品，合并后核对行列总数。
• 两车间是否有差异，与全厂改造后是否提高，是两个问题，要分别使用题给标准。

1. （1）合并类别按优级品、非优级品两列，甲车间一行为 \((26,24)\)，乙车间一行为 \((70,30)\)；行和为 50、100，列和为 96、54，总数为 150。
2. （1）与两个临界值比较代入得 \(K^2=150(26\times30-24\times70)^2/(50\times100\times96\times54)=4.6875\)。由于 \(3.841<4.6875<6.635\)，按题目给的标准，有 95% 的把握认为两车间的优级品率存在差异，但还达不到 99% 的把握。
3. （2）按改造前基准检验改造后的样本优级品率为 \(\overline p=96/150=0.64\)。题定阈值为 \(0.5+1.65\sqrt{0.5\times0.5/150}\approx0.56736\)。样本优级品率超过了题目给的阈值，所以按题目规定的规则，可以认为全厂优级品率提高了。

答案：（1）列联表两行为 \((26,24),(70,30)\)；能有 95% 的把握，不能有 99% 的把握。（2）按题定规则，能认为提高了。

回头检验：第（1）问的非优级品共 54 件，未把合格品排除；第（2）问使用全厂 150 件而不是单车间样本。两项统计判断的对象不同。

容易错在：没达到 99% 的把握不等于证明没有差异，也不能把一次统计判断说成绝对确定的因果结论。

本题用到的方法：独立事件分步相乘、分布列与期望

• 函数恒正，先研究其对数，单调性不变。
• 第（2）问先分 \(0<a<1\) 和 \(a>1\)；有极大值并不等于有两个交点。

1. （1）研究对数令 \(h(x)=\ln f(x)=2\ln x-x\ln2\)，\(h\prime(x)=2/x-\ln2\)。所以 \(f\) 在 \((0,2/\ln2)\) 递增，在 \((2/\ln2,+\infty)\) 递减。
2. （2）先分参数一般地 \(h(x)=a\ln x-x\ln a\)。当 \(0<a<1\) 时，\(h\prime(x)=a/x-\ln a>0\)，且 \(h(a)=0\)，只有一个交点。
3. （2）比较极大值与零当 \(a>1\) 时，\(h\) 在 \(x_*=a/\ln a\) 处取得最大值，两端趋于负无穷。由 \(a-\mathrm e\ln a\ge0\)（对左端求导，最小值在 \(a=\mathrm e\) 处取得）得 \(x_*\ge\mathrm e\)，故 \(h(x_*)=a(\ln x_*-1)\ge0\)，等号恰在 \(a=\mathrm e\) 成立。
4. （2）数交点当 \(a>1\) 且 \(a\ne\mathrm e\) 时，最大值严格大于零，增减两段各有一个零点。当 \(a=\mathrm e\) 时只有最大值点一个零点。因此 \(a\in(1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

答案：（1）增区间 \((0,2/\ln2)\)，减区间 \((2/\ln2,+\infty)\)；（2）\((1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

回头检验：\(a=2\) 时 \(x=2,4\) 都使 \(f(x)=1\)；\(a=\mathrm e\) 时只在 \(x=\mathrm e\) 接触直线。\(a=1\) 已被题设排除。

容易错在：不能把极大值等于 1 时的相切算成两个交点；取对数前要说明函数恒正。

本题用到的方法：对数化简求导、导数符号与参数分类

• 设三次曲线切点横坐标为 \(t\)，抛物线切点横坐标为 \(u\)；不要把它们当成同一个数。
• 同一条直线的斜率与截距都相同，消去 \(u\) 后再求参数的范围。

1. 同斜率、同截距三次曲线在 \(t\) 处的切线是 \(y=(3t^2-1)x-2t^3\)；抛物线在 \(u\) 处的切线是 \(y=2ux+a-u^2\)。故 \(u=(3t^2-1)/2\)，\(a=u^2-2t^3\)。
2. （1）代入指定切点\(t=-1\) 时 \(u=1\)，于是 \(a=1+2=3\)。两条切线均为 \(y=2x+2\)。
3. （2）参数变成函数值域令 \(A(t)=(9t^4-8t^3-6t^2+1)/4\)，则 \(A\prime(t)=3t(3t+1)(t-1)\)。驻点为 \(-1/3,0,1\)，对应函数值为 \(5/27,1/4,-1\)。
4. （2）核对全局与取得到导数符号从左到右为负、正、负、正，且 \(t\to\pm\infty\) 时 \(A(t)\to+\infty\)。最小值为 \(-1\)，在 \(t=1\) 处取得。右侧递增分支连续，值域为 \([-1,+\infty)\)，其中每个值都对应一条公切线。

答案：（1）\(a=3\)；（2）\(a\in[-1,+\infty)\)。

回头检验：最小值 \(a=-1\) 时，\(t=u=1\)，两曲线的切线都是 \(y=2x-2\)，所以端点符合题意。

容易错在：只令导数相同还不够，还须让切线截距相同；比较各局部极小值后才能认定全局最小值。

本题用到的方法：对数化简求导、导数符号与参数分类

• 设公差为 \(d\)，把 \(a_3,a_4,a_6\) 都写成 \(d\) 的式子。
• 三项成等比意味着中间项平方等于两端项乘积。
• 题设公差不为零，解出后代回检查三项的公比。

1. 列出公差方程设公差为 \(d\ne0\)，则 \(a_3=-2+2d,a_4=-2+3d,a_6=-2+5d\)。由等比中项得 \((-2+3d)^2=(-2+2d)(-2+5d)\)。
2. 筛选公差展开得 \(-d^2+2d=0\)，所以 \(d=0\) 或 \(d=2\)。由题设舍去 \(d=0\)。
3. 求目标项\(a_{10}=-2+9\times2=16\)，且 \(a_3,a_4,a_6=2,4,8\) 确实成等比。

答案：C，16。

回头检验：代回三项为 \(2,4,8\)，公比为2，且公差不为零。

容易错在：解出 \(d=0\) 后忘记题设要求公差不为零，或把等比中项写成加法关系。

• 先排除 \(q=1\) 和 \(S_2=0\) 这两个会导致除法失效的情形。
• 把 \(S_6\) 写成 \(S_2(1+q^2+q^4)\)，观察只需求 \(q^2\)。
• 再把两个目标前 n 项和都表示成 \(S_2\) 的倍数。

1. 求公比平方由 \(S_6=S_2(1+q^2+q^4)=21S_2\)，且 \(S_2\ne0\)，得 \(q^4+q^2-20=0\)，所以 \(q^2=4\)。
2. 求和\(S_4=S_2(1+q^2)=-5\)，故 \(S_2=-1\)。于是 \(S_8=S_2(1+q^2+q^4+q^6)=-(1+4+16+64)=-85\)。

答案：C，\(-85\)。

回头检验：\(S_8/S_2=1+4+16+64=85\)，与 \(S_2=-1\) 相乘得到负值。

容易错在：直接把 \(S_6=21S_2\) 当作公差关系，或漏掉 \(q^6\) 这一项。

• 用第三项分别表示第二、四项，先解公比；题设对公比的限制要保留。
• 第（2）问先写出各乘积，把交错符号并入公比。

1. （1）用中间项求公比设公比为 \(q>1\)。由 \(a_3=8\)，得 \(a_2=8/q,a_4=8q\)，故 \(q+1/q=5/2\)，即 \((2q-1)(q-2)=0\)。排除 \(q=1/2\)，得 \(q=2\)。
2. （1）还原通项首项 \(a_1=8/2^2=2\)，所以 \(a_n=2^n\)，其中 \(n\in\mathbb N^*\)。
3. （2）把符号并入公比第 \(k\) 个加数为 \((-1)^{k-1}a_ka_{k+1}=8(-4)^{k-1}\)。这是首项为 8、公比为 −4 的等比数列，前 \(n\) 项和为 \(8[1-(-4)^n]/5\)。

答案：（1）\(a_n=2^n\)；（2）\(\dfrac{8[1-(-4)^n]}5\)。

回头检验：原条件：\(a_2+a_4=4+16=20,a_3=8\)。和式在 \(n=1,2\) 时为 \(8,-24\)，与直接相加一致。

容易错在：交错符号已经进入公比，求和公式不能再额外乘一次符号。

• 先把原式乘以 \(n\)，再写 \(n+1\) 时的式子相减。
• 设首项求出通项后，用等比中项关系确定首项；最值的下标必须是正整数。

1. （1）相邻两式相减原式为 \(2S_n=2na_n-n(n-1)\)。将 \(n\) 换成 \(n+1\)，利用 \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) 相减，得到 \(n(a_{n+1}-a_n)=n\)。因 \(n\ge1\)，公差为 1。
2. （2）定出首项设 \(a_1=A\)，则 \(a_4=A+3,a_7=A+6,a_9=A+8\)。等比条件给 \((A+6)^2=(A+3)(A+8)\)，解得 \(A=-12\)，所以 \(a_n=n-13\)。所得三项 \(-9,-6,-4\) 确成等比数列。
3. （2）在正整数上取最小值\(S_n=n(n-25)/2=[(n-12)(n-13)-156]/2\)。对正整数 \(n\)，\((n-12)(n-13)\ge0\)，且恰在 \(n=12,13\) 为零。因此最小值为 \(-78\)，在这两个下标处都能取到。

答案：（1）公差为 1 的等差数列；（2）最小值 \(-78\)，在 \(n=12\) 和 \(n=13\) 取得。

回头检验：\(a_{12}=-1,a_{13}=0,a_{14}=1\)，所以 \(S_{12}=S_{13}=-78\)，随后增大。原式在 \(n=1\) 不限制首项，与推导一致。

容易错在：连续二次函数的顶点是半整数，不能直接把连续最小值当作数列的最小值；零项使相邻两项和相等。

• 把递推式乘以 \(n(n+1)\)，观察应把什么当成新数列的一项。
• 求导后再代入 −2，得到有限的加权等比和。把和记为 \(F\)，写出 \(F-(-2F)\)，留意最后一项。

1. （1）换成等差数列原式同乘 \(n(n+1)\) 得 \((n+1)a_{n+1}=na_n+1\)。令 \(c_n=na_n\)，则 \(c_{n+1}-c_n=1,c_1=3\)，所以 \(c_n=n+2\)，从而 \(a_n=1+2/n\)。
2. （2）先求导，再代值因为 \(f\) 是有限多项式，\(f\prime(-2)=\sum_{k=1}^m ka_k(-2)^{k-1}=\sum_{k=1}^m(k+2)(-2)^{k-1}\)。记这个和为 \(F\)。
3. （2）错位相减将 \(F\) 与 \(-2F\) 相减得 \(3F=3+\sum_{j=1}^{m-1}(-2)^j-(m+2)(-2)^m\)。中间等比和为 \([(-2)^m+2]/(-3)\)（\(m=1\) 时为空和 0）。整理得 \(F=[7-(3m+7)(-2)^m]/9\)。

答案：（1）\(\{na_n\}\) 首项 3、公差 1；（2）\(f\prime(-2)=\dfrac{7-(3m+7)(-2)^m}{9}\)。

回头检验：\(m=1\) 时导数为 3；\(m=2\) 时 \(f(x)=3x+2x^2\)，导数在 −2 为 −5，与公式一致。

容易错在：导数中的系数是 k a_k；不能先把 x 代成 −2 得到常数后再求导。错位相减的末项系数是 m+2。

• \(S_1/a_1=1\)，由公差先写出 \(S_n/a_n\)。
• 相邻两式给出项的比值；求出通项后，把每个倒数写成两个分式的差。

1. （1）还原和项关系由 \(S_1/a_1=1\)，有 \(S_n/a_n=1+(n-1)/3=(n+2)/3\)，即 \(3S_n=(n+2)a_n\)。题设比值有定义，故各 \(a_n\ne0\)。
2. （1）求通项相邻式相减得 \(3a_{n+1}=(n+3)a_{n+1}-(n+2)a_n\)，故 \(a_{n+1}/a_n=(n+2)/n\)。从 \(a_1=1\) 累乘得 \(a_n=n(n+1)/2\)。
3. （2）裂项后消去中间项\(1/a_k=2/[k(k+1)]=2(1/k-1/(k+1))\)。所以 \(\sum_{k=1}^n1/a_k=2(1-1/(n+1))=2n/(n+1)<2\)，严格性来自 \(n+1>0\)。

答案：（1）\(a_n=n(n+1)/2\)；（2）倒数和 \(2n/(n+1)<2\)。

回头检验：前四项为 \(1,3,6,10\)。\(S_n=n(n+1)(n+2)/6\) 满足原比值关系；\(n=1\) 时倒数和为 1。

容易错在：2 是严格上界，没有正整数下标能让倒数和等于 2，所以 2 不是最大值。

• （1）要两个通项，先求哪个？（2）要证的是一个和的上界，这个和能直接求出来吗？求不出来时，要把每一项换成什么样的式子？
• 等比条件里三项加的是同一个 \(b_n\)，可以把 \(S_n+b_n\) 看成整体。第（2）问的右边 \(2\sqrt n\) 也能写成 n 个相邻项之差的和，想想每一项是什么。
• 裂项放缩：先说明 \(C_k<\dfrac1{\sqrt k}\)，再把 \(\dfrac1{\sqrt k}\) 写成 \(\dfrac2{2\sqrt k}\)，把分母里的一个 \(\sqrt k\) 换成 \(\sqrt{k-1}\) 后分母有理化。

1. 求 \(a_n\)\(a_4=S_3\) 即 \(a_1+3d=3a_1+3d\)，得 \(a_1=0\)；再由 \(a_3=a_1+2d=4\) 得 \(d=2\)。所以 \(a_n=2n-2\)，\(S_n=n(n-1)\)。
2. 整体设元求 \(b_n\)记 \(X=S_n+b_n\)。因为 \(S_{n+1}-S_n=2n\)，\(S_{n+2}-S_n=4n+2\)，三项是 \(X,\ X+2n,\ X+4n+2\)。由 \((X+2n)^2=X(X+4n+2)\) 得 \(4n^2=2X\)，\(X=2n^2\)，所以 \(b_n=2n^2-n(n-1)=n(n+1)\)。此时三项为 \(2n^2,\ 2n(n+1),\ 2(n+1)^2\)，都为正，公比 \(\dfrac{n+1}n\)，确实成等比数列。
3. 先把通项放成 \(\dfrac1{\sqrt n}\)\(C_n=\sqrt{\dfrac{2n-2}{2n(n+1)}}=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1)}}\)。因为 \(n-1<n+1\)，有 \(\dfrac{n-1}{n(n+1)}<\dfrac1n\)，所以 \(C_n<\dfrac1{\sqrt n}\)；\(n=1\) 时 \(C_1=0\)，也成立。
4. 看目标，再放成相邻根式之差目标 \(2\sqrt n=\sum_{k=1}^n2(\sqrt k-\sqrt{k-1})\)，所以只要每项都小于 \(2(\sqrt k-\sqrt{k-1})\)。而 \(2(\sqrt k-\sqrt{k-1})=\dfrac2{\sqrt k+\sqrt{k-1}}>\dfrac2{2\sqrt k}=\dfrac1{\sqrt k}\)。于是 \(C_k<\dfrac1{\sqrt k}<2(\sqrt k-\sqrt{k-1})\)，对 \(k=1,2,\cdots,n\) 相加，中间项全部消去，得 \(C_1+C_2+\cdots+C_n<2\sqrt n\)。

答案：（1）\(a_n=2n-2\)，\(b_n=n(n+1)\)；（2）由 \(C_k<\dfrac1{\sqrt k}<2(\sqrt k-\sqrt{k-1})\) 相加裂项，得 \(C_1+C_2+\cdots+C_n<2\sqrt n\)。

回头检验：\(n=1\) 回代第（1）问：\(S_1+b_1,\ S_2+b_1,\ S_3+b_1\) 是 \(2,4,8\)，成等比。第（2）问 \(n=2\)：\(C_1+C_2=\sqrt{\dfrac16}\approx0.41<2\sqrt2\)。

容易错在：等比条件里三项加的都是 \(b_n\)，不是 \(b_n,b_{n+1},b_{n+2}\)。把 \(\dfrac1{\sqrt k}\) 放成 \(\dfrac2{\sqrt k+\sqrt{k+1}}\) 方向就反了，那是下界；要选分母更小的 \(\sqrt k+\sqrt{k-1}\)。

• 相邻的前项和关系相减后，先单独检查第二项。
• 求出 \(b_n\) 与 \(T_n\)，约去恒正的指数因子后，按 \(n<4,n=4,n>4\) 分类。
• 对所有正整数成立，要取全部条件的交集；无穷多个下界不一定有某个下标恰好取得。

1. （1）补齐递推起点令 \(q=3/4\)。当 \(n\ge2\) 时，前项和的相邻两式相减得 \(4a_{n+1}=3a_n\)。由 \(n=1\) 的原式得 \(a_2=-27/16=qa_1\)，故对全部正整数 \(a_n=-3q^n\)。
2. （2）求加权等比和由题设 \(b_n=(n-4)q^n\)。错位相减给 \((1-q)T_n=-3q+\sum_{k=2}^nq^k-(n-4)q^{n+1}\)。用 \(q=3/4\) 化简得 \(T_n=-3nq^n\)；\(n=1\) 时空和也成立。
3. （2）分正、零、负约去 \(q^n>0\)，条件成为 \(-3n\le\lambda(n-4)\)。\(n=1,2,3\) 分别给 \(\lambda\le1,3,9\)，合并为 \(\lambda\le1\)；\(n=4\) 时 \(-12\le0\) 恒成立；\(n\ge5\) 时要求 \(\lambda\ge-3n/(n-4)=-3-12/(n-4)\)。
4. （2）无限条件的交集与端点\(\lambda\ge-3\) 能满足所有 \(n\ge5\) 的下界。若 \(\lambda<-3\)，取整数 \(n>4+12/(-3-\lambda)\) 即不满足。因此充要范围为 \([-3,1]\)。代入 \(\lambda=-3\) 时为 \(-3n\le-3n+12\)；代入 \(\lambda=1\) 时为 \(-3n\le n-4\)，对所有 \(n\ge1\) 均成立，两端可取。

答案：（1）\(a_n=-3(3/4)^n\)；（2）\(\lambda\in[-3,1]\)。

回头检验：\(b_4=0,T_4=-12(3/4)^4<0\)，故第四项不能通过除以 \(b_4\) 处理。上端点在 \(n=1\) 取等；下端点虽然没有单个 \(n\) 取等，仍满足全部不等式。

容易错在：除以 n−4 时，要先分清正负再判断不等号方向；即使没有哪一项恰好等于下界，也不能因此排除这个端点值。

• 公差非零，四项成等差等价于四个下标成等差。先在 1 到 6 中找四项。
• 第（2）问先解决前 14 项，后面每连续四项分一组。
• 压轴拓展：证明概率下界，不必找出全部可行删项。先找删项模 4 的两种方向；较难的方向可把小模板重叠两个位置拼接。

1. 把新定义翻译成下标设 \(a_k=A+(k-1)d,d\ne0\)。四个下标等差当且仅当对应四项等差，即使 \(d<0\) 也成立。因此以下只构造下标分组。
2. （1）穷尽六项情形在 1 至 6 中，四个递增下标的公差只能为 1（若至少为 2，首末至少相差 6，超出范围）。可保留 \((1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6)\)，故删项恰为 \((5,6),(1,6),(1,2)\)。
3. （2）给出可直接检查的分组删去 2 和 13 后，前 14 个下标用三组 \((1,4,7,10),(3,6,9,12),(5,8,11,14)\)。若 \(m>3\)，余下从 15 至 \(4m+2\) 连续四个一组，共 \(m-3\) 组。每个保留下标恰好使用一次。
4. （3）第一族可行删项删 \(i=4u+1,j=4v+2\)，其中 \(0\le u\le v\le m\)。删项前、中、后三段长度分别为 \(4u,4(v-u),4(m-v)\)，均可按连续四个分组。这族共有 \((m+1)(m+2)/2\) 对。
5. （3）第二族的小模板删 \(i=4u+2,j=4v+1\)，其中 \(0\le u<v\le m,v-u\ge2\)。设 \(r=v-u\)，外侧连续段长度均为 4 的倍数；只需对中段 \(1,\ldots,4r+2\) 删 2 和 \(4r+1\)。\(r=2\) 时用 \((1,3,5,7),(4,6,8,10)\)；\(r=3\) 时用第（2）问的三组。
6. （3）模板拼接覆盖所有距离若距离 \(r,s\) 都有模板，将第二个模板整体平移 \(4r\)。两模板只重叠下标 \(4r+1,4r+2\)：前模板删前者、留后者，后模板留前者、删后者，因此两个位置均恰好出现一次。外侧仅删 2 与 \(4(r+s)+1\)，得到距离 \(r+s\) 的模板。每个整数 \(r\ge2\) 都可写成若干个 2，或一个 3 加若干个 2，故第二族全部可行。
7. （3）只数已构造的事件第二族共有 \(m(m-1)/2\) 对（\(m=1,2\) 时分别为 0、1）；两族删项的模 4 方向不同，互不重计。因此至少有 \(m^2+m+1\) 对可行删项。总对数为 \(\binom{4m+2}{2}=(2m+1)(4m+1)\)，故 \(P_m\ge(m^2+m+1)/[(2m+1)(4m+1)]>1/8\)，因为 8 倍分子减分母等于 \(2m+7>0\)。

答案：（1）\((1,2),(1,6),(5,6)\)；（2）分组构造见解析；（3）\(P_m\ge\dfrac{m^2+m+1}{(2m+1)(4m+1)}>\dfrac18\)。

回头检验：\(m=1\) 时有 3 对可行删项，总共 15 对，概率 \(1/5>1/8\)。第二族最小距离 2 的两组覆盖 1 至 10 中除 2、9 外的所有下标；拼接只重叠两个位置，未多用或漏用项。

容易错在：构造的分组必须包含所有保留项，且每项只出现一次；这里只算概率下界，这两类不一定包含全部可行事件。

• 先由等差数列的前 8 项和求 $a_1$，再用 $b_1,b_3-b_2$ 解公比；不要把 $b_{2n}$ 看成 $2b_n$。
• 展开 $c_n^2$，观察哪些项正好与 $c_{2n}$ 抵消。
• 根式中的分子可以和 $2k$ 比较；放缩后留下的 $k/2^k$ 用错位相减求有限和，并保留末项。

1. 先求两个基本数列$4(2a_1+14)=64$，所以 $a_1=1$，从而 $a_n=2n-1$。设 $b_n=4q^{n-1}$，由 $4q^2-4q=48$ 得 $q=4$（公比为正），所以 $b_n=4^n$。
2. 平方后抵消出等比数列$c_n=16^n+4^{-n}$，故 $c_n^2=256^n+2\cdot4^n+16^{-n}$，而 $c_{2n}=256^n+16^{-n}$。因此 $c_n^2-c_{2n}=2\cdot4^n$，首项为 $8$、公比为 $4$。
3. 把根式压到等比项$a_ka_{k+1}=(2k-1)(2k+1)=4k^2-1$，且 $c_k^2-c_{2k}=2\cdot4^k$。所以每一项为 $\dfrac{\sqrt{4k^2-1}}{\sqrt2\,2^k}<\dfrac{2k}{\sqrt2\,2^k}=\sqrt2\,\dfrac{k}{2^k}$。
4. 错位相减并保留余项设 $U_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{2^k}$。由 $U_n-\dfrac12U_n=\dfrac12+\dfrac1{2^2}+\cdots+\dfrac1{2^n}-\dfrac{n}{2^{n+1}}$，得 $U_n=2-\dfrac{n+2}{2^n}<2$。逐项相加即得原和小于 $2\sqrt2$。

答案：（Ⅰ）$a_n=2n-1,b_n=4^n$；（Ⅱ）（ⅰ）$c_n^2-c_{2n}=2\cdot4^n$，为首项 8、公比 4 的等比数列；（ⅱ）原和 $<2\sqrt2$。

回头检验：$n=1$ 时原和为 $\dfrac{\sqrt3}{4}<2\sqrt2$；$c_1=16+\dfrac14$，且 $c_1^2-c_2=8$，与通式一致。

容易错在：下标 $2n$ 表示代入通项后的 $4^{2n}$，不是 $2b_n$；根式放缩后仍要用有限和的末项保证严格小于。

• （Ⅰ）把 $b_1,b_2,b_3$ 用 $q$ 表示；得到 $c_{n+1}$ 与 $c_n$ 的固定比值后，再用 $a_{n+1}-a_n=c_{n+1}$ 累加。
• （Ⅱ）先把递推连续相乘，注意首尾留下两个因子；再把相邻两个分母裂成差。
• 因为 $d>0$，裂项后的尾项为正，严格小于来自这里。

1. 等比情形先还原增量$1+q=6q^2$，且 $q>0$，所以 $q=\dfrac12$。此时 $c_{n+1}=4c_n$，结合 $c_1=1$ 得 $c_n=4^{n-1}$。再由 $a_{n+1}-a_n=c_{n+1}$、$a_1=1$，得 $a_n=1+4+\cdots+4^{n-1}=\dfrac{4^n-1}{3}$。
2. 等差情形连乘得到可裂的项$b_n=1+(n-1)d$。由 $c_{n+1}=\dfrac{b_n}{b_{n+2}}c_n$ 连乘，两个端点保留下来：$c_n=\dfrac{1+d}{[1+(n-1)d](1+nd)}$。
3. 先找界，再裂项求和把上一式写成相邻分式之差：$c_n=\dfrac{1+d}{d}\left[\dfrac1{1+(n-1)d}-\dfrac1{1+nd}\right]$。于是 $\sum_{k=1}^n c_k=\dfrac{1+d}{d}\left(1-\dfrac1{1+nd}\right)<\dfrac{1+d}{d}=1+\dfrac1d$，尾项为正保证严格号。

答案：（Ⅰ）$q=\dfrac12$，$a_n=\dfrac{4^n-1}{3}$；（Ⅱ）$\displaystyle\sum_{k=1}^n c_k=\dfrac{1+d}{d}\left(1-\dfrac1{1+nd}\right)<1+\dfrac1d$。

回头检验：当 $n=1$ 时连乘式给 $c_1=\dfrac{1+d}{1\cdot(1+d)}=1$；$d>0$ 也使 $1+nd>0$，所有约分与不等号方向合法。

容易错在：连乘不能只保留一个端点；裂项前要确认 $d>0$，不能把严格上界误写成可取的最大值。

• 每个选项同时说了单调性和有界性，先问自己递推式的固定点在哪里。
• 把 6 从每一项中移走后，初值的正负和绝对值决定下一项落在哪个区间；注意边界值。
• 令 \(b_n=a_n-6\)，比较 \(|b_{n+1}|/|b_n|=b_n^2/4\)，分别检验四个初值。

1. 平移到固定点令 \(b_n=a_n-6\)，则 \(b_{n+1}=b_n^3/4\)。若 \(|b_n|\le1\)，则 \(|b_{n+1}|\le|b_n|/4\)；若 \(|b_n|\ge3\)，则 \(|b_{n+1}|\ge(9/4)|b_n|\)，且符号保持不变。
2. 检验选项 A、BA 中 \(a_1=3\)，故 \(b_1=-3\)，绝对值至少按 \(9/4\) 倍增长，\(a_n\) 虽递减却无下界，A 错。B 中 \(a_1=5\)，即 \(b_1=-1\)。归纳得 \(-1\le b_n<0\)，且 \(b_{n+1}-b_n=b_n(b_n^2/4-1)>0\)，所以 \(a_n\) 递增并且 \(a_n<6\)，B 对。
3. 排除选项 C、DC 中 \(b_1=1\)，有 \(0<b_{n+1}\le b_n/4\)，所以 \(a_n\) 递减且趋近 6；不可能存在 \(M>6\) 使所有 \(a_n>M\)。D 中 \(b_1=3\)，绝对值增长且 \(a_n\) 无上界，不可能被某个正数 \(M\) 统一压住。因此选 B。

答案：B。

回头检验：B 项边界初值给出 \(b_1=-1,b_2=-1/4\)，以后始终在 \([-1,0)\) 内；A、D 的绝对值发散，C 的 \(a_n\) 下降到 6。

容易错在：把三次方递推误看成线性递推，或只证明单调性却没有检查有界性；初值在 \(|b|=1\) 和 \(|b|=3\) 的边界不能跳过。

• 先确认递推各项的正性，再想一个变量能把根式从分母中移走。
• 上界需要对每一项同时成立；归纳时比较相邻的候选界，并保留最后的严格性来源。
• 令 \(b_n=1/\sqrt{a_n}\)，证明 \(b_n^2\) 的下界后，将 \(a_n\) 放到相邻分式之差。

1. 倒数开方化递推各项为正。令 \(b_n=1/\sqrt{a_n}\)，则 \(b_1=1\)，且 \(b_{n+1}^2=b_n^2+b_n\)。记 \(c_n=(n+1)(n+2)/6\)。
2. 归纳得到逐项上界初始时 \(b_1^2=c_1=1\)。若 \(b_n^2\ge c_n\)，则 \(b_{n+1}^2\ge c_n+\sqrt{c_n}\)。又 \(c_n\ge(n+2)^2/9\)（\(n\ge1\)），所以 \(\sqrt{c_n}\ge(n+2)/3=c_{n+1}-c_n\)，从而 \(b_{n+1}^2\ge c_{n+1}\)。故 \(a_n\le6/[(n+1)(n+2)]\)。
3. 裂项并判断区间有 \(a_n\le6(1/(n+1)-1/(n+2))\)，所以 \(S_{100}\le6(1/2-1/102)<3\)。同时 \(S_{100}>a_1=1>1/2\)。在 \(n=3\) 时 \(b_3^2=2+\sqrt2>10/3\)，故至少一项严格小于对应上界，实际有严格的 \(S_{100}<3\)，选 A。

答案：A，\(\dfrac12<S_{100}<3\)。

回头检验：递推给出 \(b_n>0\)；\(c_n\ge(n+2)^2/9\) 等价于 \(n\ge1\)。取 \(n=3\) 可确认总和上界为严格不等式。

容易错在：直接把根式当作可忽略项；归纳放缩时漏写正性条件；只得到 \(S_{100}\le3\) 而没有说明严格号。

• 用第三项分别表示第二、四项，先解公比；题设对公比的限制要保留。
• 第（2）问先写出各乘积，把交错符号并入公比。

1. （1）用中间项求公比设公比为 \(q>1\)。由 \(a_3=8\)，得 \(a_2=8/q,a_4=8q\)，故 \(q+1/q=5/2\)，即 \((2q-1)(q-2)=0\)。排除 \(q=1/2\)，得 \(q=2\)。
2. （1）还原通项首项 \(a_1=8/2^2=2\)，所以 \(a_n=2^n\)，其中 \(n\in\mathbb N^*\)。
3. （2）把符号并入公比第 \(k\) 个加数为 \((-1)^{k-1}a_ka_{k+1}=8(-4)^{k-1}\)。这是首项为 8、公比为 −4 的等比数列，前 \(n\) 项和为 \(8[1-(-4)^n]/5\)。

答案：（1）\(a_n=2^n\)；（2）\(\dfrac{8[1-(-4)^n]}5\)。

回头检验：原条件：\(a_2+a_4=4+16=20,a_3=8\)。和式在 \(n=1,2\) 时为 \(8,-24\)，与直接相加一致。

容易错在：交错符号已经进入公比，求和公式不能再额外乘一次符号。

本题用到的方法：裂项求和、等差等比递推

• 先把原式乘以 \(n\)，再写 \(n+1\) 时的式子相减。
• 设首项求出通项后，用等比中项关系确定首项；最值的下标必须是正整数。

1. （1）相邻两式相减原式为 \(2S_n=2na_n-n(n-1)\)。将 \(n\) 换成 \(n+1\)，利用 \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) 相减，得到 \(n(a_{n+1}-a_n)=n\)。因 \(n\ge1\)，公差为 1。
2. （2）定出首项设 \(a_1=A\)，则 \(a_4=A+3,a_7=A+6,a_9=A+8\)。等比条件给 \((A+6)^2=(A+3)(A+8)\)，解得 \(A=-12\)，所以 \(a_n=n-13\)。所得三项 \(-9,-6,-4\) 确成等比数列。
3. （2）在正整数上取最小值\(S_n=n(n-25)/2=[(n-12)(n-13)-156]/2\)。对正整数 \(n\)，\((n-12)(n-13)\ge0\)，且恰在 \(n=12,13\) 为零。因此最小值为 \(-78\)，在这两个下标处都能取到。

答案：（1）公差为 1 的等差数列；（2）最小值 \(-78\)，在 \(n=12\) 和 \(n=13\) 取得。

回头检验：\(a_{12}=-1,a_{13}=0,a_{14}=1\)，所以 \(S_{12}=S_{13}=-78\)，随后增大。原式在 \(n=1\) 不限制首项，与推导一致。

容易错在：连续二次函数的顶点是半整数，不能直接把连续最小值当作数列的最小值；零项使相邻两项和相等。

本题用到的方法：裂项求和、等差等比递推

• 先把获得冠军翻译成至少赢几个项目。
• 按乙赢得的项目数分类；三个项目的胜率不同，不能直接套同一参数的二项分布。

1. （1）至少赢两项记甲在三项中获胜的事件为 \(A_1,A_2,A_3\)。甲夺冠的概率等于恰赢两项与全赢的概率之和，即 \(0.5\times0.4\times0.2+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.4\times0.8=0.60\)。其中前两项分别对应甲负第三项、负第二项，第三项对应负第一项，末项对应全胜。
2. （2）列全乙的总分乙赢三项的概率为 \(0.5\times0.6\times0.2=0.06\)，一项也没赢的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8=0.16\)。乙恰赢一项的概率为 \(0.5\times0.4\times0.8+0.5\times0.6\times0.8+0.5\times0.4\times0.2=0.44\)，余下恰赢两项的概率为 \(1-0.16-0.44-0.06=0.34\)。
3. （2）写分布列和期望分布列为 \(\begin{array}{c|rrrr}X&0&10&20&30\\\hline P&0.16&0.44&0.34&0.06\end{array}\)。因此 \(E(X)=10\times0.44+20\times0.34+30\times0.06=13\) 分。

答案：（1）\(0.60\)；（2）\(X=0,10,20,30\) 的概率依次为 \(0.16,0.44,0.34,0.06\)，\(E(X)=13\) 分。

回头检验：分布列概率和为 1；乙的期望也等于三项期望相加：\(10(0.5+0.6+0.2)=13\) 分。甲夺冠恰好对应 \(X\le10\)，概率 \(0.16+0.44=0.60\)。

容易错在：甲的胜率与乙的胜率不能混用；每项独立不代表三项同分布。

本题用到的方法：独立事件分步相乘、分布列与期望

• 非优级品包含合格品和不合格品，合并后核对行列总数。
• 两车间是否有差异，与全厂改造后是否提高，是两个问题，要分别使用题给标准。

1. （1）合并类别按优级品、非优级品两列，甲车间一行为 \((26,24)\)，乙车间一行为 \((70,30)\)；行和为 50、100，列和为 96、54，总数为 150。
2. （1）与两个临界值比较代入得 \(K^2=150(26\times30-24\times70)^2/(50\times100\times96\times54)=4.6875\)。由于 \(3.841<4.6875<6.635\)，按题目给的标准，有 95% 的把握认为两车间的优级品率存在差异，但还达不到 99% 的把握。
3. （2）按改造前基准检验改造后的样本优级品率为 \(\overline p=96/150=0.64\)。题定阈值为 \(0.5+1.65\sqrt{0.5\times0.5/150}\approx0.56736\)。样本优级品率超过了题目给的阈值，所以按题目规定的规则，可以认为全厂优级品率提高了。

答案：（1）列联表两行为 \((26,24),(70,30)\)；能有 95% 的把握，不能有 99% 的把握。（2）按题定规则，能认为提高了。

回头检验：第（1）问的非优级品共 54 件，未把合格品排除；第（2）问使用全厂 150 件而不是单车间样本。两项统计判断的对象不同。

容易错在：没达到 99% 的把握不等于证明没有差异，也不能把一次统计判断说成绝对确定的因果结论。

本题用到的方法：独立事件分步相乘、分布列与期望

• 第（1）问要一个角的正弦，可眼下三个角都不知道。哪个角最有希望先定下来？
• \(A+B=3C\) 还没有和内角和放在一起用；\(\sin B\) 里的 \(B\) 也还没有换成另外两个角。
• 用 \(B=\pi-(A+C)\) 把 \(\sin B\) 写成 \(\sin(A+C)\)，两边按和差角公式展开，整理成只含 \(\sin A,\cos A\) 的式子。

1. （1）定 \(C\)由 \(A+B+C=\pi\) 和 \(A+B=3C\)，得 \(4C=\pi\)，所以 \(C=\dfrac{\pi}{4}\)。
2. （1）消去 \(B\)\(\sin B=\sin(A+C)\)，所以 \(2\sin(A-C)=\sin(A+C)\)。展开：\(2\sin A\cos C-2\cos A\sin C=\sin A\cos C+\cos A\sin C\)，整理得 \(\sin A\cos C=3\cos A\sin C\)。
3. （1）求 \(\sin A\)\(\sin C=\cos C\ne0\)，约去后 \(\sin A=3\cos A\)。若 \(\cos A=0\)，则 \(\sin A=0\)，不可能，所以 \(\tan A=3>0\)，\(A\) 是锐角。结合平方和为 1，得 \(\sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)，\(\cos A=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)。
4. （2）求边与高\(\sin B=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{4\sqrt{10}}{10}=\dfrac{2\sqrt5}{5}\)。由正弦定理，\(b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}=\dfrac{5\cdot\frac{2\sqrt5}{5}}{\frac{\sqrt2}{2}}=2\sqrt{10}\)。\(AB\) 边上的高为 \(b\sin A=2\sqrt{10}\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{10}=6\)。

答案：（1）\(\sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\)；（2）高为 \(6\)。

回头检验：换一条路：\(a=\dfrac{c\sin A}{\sin C}=3\sqrt5\)，高也等于 \(a\sin B=3\sqrt5\cdot\dfrac{2\sqrt5}{5}=6\)，两条路结果一致。

容易错在：把 \(\sin B\) 直接当成 \(\sin(A-C)\) 的倍数硬算，不先消元；或者由 \(\tan A=3\) 求 \(\sin A\) 时不说明 \(A\) 是锐角。

• 要求的是 \(\omega\) 的范围。\(\omega\) 变大时，函数图象在区间里发生什么变化？
• 零点方程 \(\cos\omega x=1\) 还没有解。区间 \([0,2\pi]\) 换成 \(\omega x\) 的范围是什么？
• 令 \(t=\omega x\)，把 \(\cos t=1\) 的解按从小到大排好，看右端点必须落在哪两个解之间，端点能不能取等。

1. 换元令 \(t=\omega x\)，\(x\in[0,2\pi]\) 时 \(t\in[0,2\omega\pi]\)。零点方程变成 \(\cos t=1\)。
2. 列零点\(t\ge0\) 时的解依次是 \(0,2\pi,4\pi,6\pi,\dots\)。
3. 卡右端点恰有 3 个，就是 \(0,2\pi,4\pi\) 都在区间内，\(6\pi\) 不在：\(4\pi\le2\omega\pi<6\pi\)，所以 \(2\le\omega<3\)。

答案：\([2,3)\)

回头检验：\(\omega=2\) 时零点是 \(0,\pi,2\pi\)，恰 3 个；\(\omega=3\) 时零点是 \(0,\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{4\pi}{3},2\pi\)，有 4 个，所以左闭右开。

容易错在：区间是闭的，右端点正好落在第 3 个解上也算 3 个，左边取等；落在第 4 个解上就变成 4 个，右边不取等。

• 两问都在问函数的性质，眼下的式子能直接读出周期或最大值吗？它应该化成什么样子才好读？
• \(f\) 里同时有 \(\sin x,\cos x\)，第（2）问还有 \(x-\dfrac{\pi}{4}\) 这个角没有统一；区间 \(\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) 也还没用上。
• 先把 \(f\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)\) 化成单项，再用二倍角公式降次，最后用辅助角公式化成一个正弦。

1. （1）化简\(f\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos x-\sin x\)，平方得 \(y=1-\sin2x\)，所以最小正周期为 \(\pi\)。
2. （2）统一角\(f\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\sin x\)，所以 \(y=\sqrt2\sin x(\sin x+\cos x)\)。
3. （2）降次化一\(y=\sqrt2\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}+\dfrac{\sin2x}{2}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}(\sin2x-\cos2x)+\dfrac{\sqrt2}{2}=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{4}\right)+\dfrac{\sqrt2}{2}\)。
4. （2）看整体角\(x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\) 时 \(2x-\dfrac{\pi}{4}\in\left[-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right]\)，其中含 \(\dfrac{\pi}{2}\)，所以 \(x=\dfrac{3\pi}{8}\) 时取最大值 \(1+\dfrac{\sqrt2}{2}\)。

答案：（1）\(\pi\)；（2）\(1+\dfrac{\sqrt2}{2}\)。

回头检验：\(x=\dfrac{3\pi}{8}\) 代回 \(\sqrt2\sin x(\sin x+\cos x)\)，数值约为 \(1.707\)，与 \(1+\dfrac{\sqrt2}{2}\) 相符。

容易错在：把区间端点代进去比大小就下结论；整体角的范围里含 \(\dfrac{\pi}{2}\) 时，最大值在内部取到。

• 要证的式子只含边，条件却只含角。两边的差距在哪里，最后要靠哪些定理过渡？
• 条件里的 \(\sin(A-B)\) 和 \(\sin(C-A)\) 还是差角，而内角和这个隐含条件还没用。
• 两个差角都展开，把含 \(\sin A\) 的项放到一边合并成 \(\sin(B+C)\)，再用正弦定理把各项换成边。

1. （1）展开合并展开：\(\sin C\sin A\cos B-\sin C\cos A\sin B=\sin B\sin C\cos A-\sin B\cos C\sin A\)。移项：\(\sin A(\sin C\cos B+\cos C\sin B)=2\sin B\sin C\cos A\)。括号是 \(\sin(B+C)=\sin A\)，所以 \(\sin^2A=2\sin B\sin C\cos A\)。
2. （1）化成边每项都是两个正弦相乘，由正弦定理得 \(a^2=2bc\cos A\)。由余弦定理 \(2bc\cos A=b^2+c^2-a^2\)，所以 \(a^2=b^2+c^2-a^2\)，即 \(2a^2=b^2+c^2\)。
3. （2）求 \(bc\)\(a=5\) 时 \(b^2+c^2=50\)。又 \(2bc\cos A=a^2=25\)，所以 \(bc=\dfrac{25}{2\cdot\frac{25}{31}}=\dfrac{31}{2}\)。
4. （2）求周长\((b+c)^2=b^2+c^2+2bc=50+31=81\)，\(b+c=9\)，周长为 \(5+9=14\)。

答案：（1）证明见解析；（2）周长为 \(14\)。

回头检验：\(b,c\) 是方程 \(t^2-9t+\dfrac{31}{2}=0\) 的两根，判别式 \(19>0\)，两根约为 \(6.68,2.32\)，与 \(a=5\) 能构成三角形，且 \(\cos A=\dfrac{50-25}{31}\) 与题设相同。

容易错在：展开后把 \(\sin C\) 或 \(\sin B\) 随手约掉，丢了结构；或者求出 \(bc\) 后分别解 \(b,c\)，其实周长只要 \(b+c\)。

• 第（2）问要 \(\cos\angle ABC\)，用余弦定理的话缺的是什么？是三条边的具体值，还是它们的比？
• 第（1）问的 \(BD=b\) 和 \(b^2=ac\) 都要用；点 \(D\) 在 \(AC\) 上意味着 \(D\) 处两个角有固定关系。
• 写出 \(\cos\angle ADB+\cos\angle CDB=0\)，把 \(b^2\) 换成 \(ac\)，得到 \(a,c\) 的二次齐次方程。

1. （1）边角互化由正弦定理 \(\dfrac{\sin C}{\sin\angle ABC}=\dfrac{c}{b}\)，所以 \(BD=\dfrac{a\sin C}{\sin\angle ABC}=\dfrac{ac}{b}=\dfrac{b^2}{b}=b\)。
2. （2）互补角列方程\(AD=\dfrac{2b}{3}\)，\(DC=\dfrac{b}{3}\)，\(BD=b\)。\(\angle ADB+\angle CDB=\pi\)，所以两角余弦之和为 0：\(\dfrac{\frac{4b^2}{9}+b^2-c^2}{\frac{4b^2}{3}}+\dfrac{\frac{b^2}{9}+b^2-a^2}{\frac{2b^2}{3}}=0\)。去分母得 \(\dfrac{11}{3}b^2=2a^2+c^2\)。
3. （2）解比值代入 \(b^2=ac\)：\(6a^2-11ac+3c^2=0\)，即 \((3a-c)(2a-3c)=0\)，所以 \(c=3a\) 或 \(a=\dfrac{3c}{2}\)。
4. （2）舍根若 \(c=3a\)，则 \(b^2=3a^2\)，\(\cos\angle ABC=\dfrac{a^2+9a^2-3a^2}{6a^2}=\dfrac{7}{6}>1\)，舍去。若 \(a=\dfrac{3c}{2}\)，则 \(b^2=\dfrac{3c^2}{2}\)，\(\cos\angle ABC=\dfrac{\frac{9c^2}{4}+c^2-\frac{3c^2}{2}}{3c^2}=\dfrac{7}{12}\)。

答案：（1）证明见解析；（2）\(\cos\angle ABC=\dfrac{7}{12}\)。

回头检验：取 \(c=2\)，则 \(a=3,b=\sqrt6\)，能构成三角形。此时 \(\cos A=\dfrac{6+4-9}{4\sqrt6}=\dfrac{1}{4\sqrt6}\)，\(AD=\dfrac{2\sqrt6}{3}\)，余弦定理给出 \(BD^2=4+\dfrac83-\dfrac23=6\)，确实 \(BD=b\)。

容易错在：解出两组比值后不检验，把 \(\dfrac{7}{6}\) 也写进答案；余弦的绝对值不能超过 1，这一步不能省。

• 周长里 \(a\) 已知，真正要管的是谁？它随什么在变？
• 第（1）问的结论让 \(B+C\) 成了定值，\(a\) 对角已知时外接圆直径也就定了。
• 用 \(b=2R\sin B,\ c=2R\sin C\) 把 \(b+c\) 写成只含 \(B\) 的式子，再用辅助角公式。

1. （1）角化边题设每项都是两个正弦相乘，由正弦定理得 \(a^2-b^2-c^2=bc\)。余弦定理给出 \(a^2-b^2-c^2=-2bc\cos A\)，所以 \(\cos A=-\dfrac12\)，\(A=\dfrac{2\pi}{3}\)。
2. （2）边化角\(2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{3}{\frac{\sqrt3}{2}}=2\sqrt3\)，所以 \(b=2\sqrt3\sin B\)，\(c=2\sqrt3\sin C\)。又 \(C=\dfrac{\pi}{3}-B\)，\(0<B<\dfrac{\pi}{3}\)。
3. （2）化成一个角\(b+c=2\sqrt3\left[\sin B+\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-B\right)\right]=2\sqrt3\left(\dfrac12\sin B+\dfrac{\sqrt3}{2}\cos B\right)=2\sqrt3\sin\left(B+\dfrac{\pi}{3}\right)\)。
4. （2）看整体角\(B+\dfrac{\pi}{3}\in\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)\)，所以 \(B=\dfrac{\pi}{6}\) 时 \(b+c\) 最大，为 \(2\sqrt3\)，周长最大值为 \(3+2\sqrt3\)。

答案：（1）\(A=\dfrac{2\pi}{3}\)；（2）周长最大值为 \(3+2\sqrt3\)。

回头检验：用基本不等式再算一次：\(9=b^2+c^2+bc=(b+c)^2-bc\ge\dfrac34(b+c)^2\)，所以 \(b+c\le2\sqrt3\)，等号在 \(b=c=\sqrt3\) 时成立，结果一致。

容易错在：只写 \(\sin\) 最大是 1 而不写整体角范围；这里 \(B+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\) 在范围内，换一道题就未必取得到。

• 第（2）问要的是范围。式子里有三个角，哪个是定值，真正在变的量可以只留几个？
• 锐角这个词不只说 \(B\)，还有 \(A\) 和 \(C\)；第（1）问的结论也让 \(A+C\) 成了定值。
• 用 \(A\) 表示 \(C\)，消元后化成一个正弦；再把 \(A\) 和 \(C\) 都是锐角写成关于 \(A\) 的不等式组。

1. （1）边化角每项都含一个边，由正弦定理得 \(2\sin B\sin A=\sqrt3\sin A\)。\(\sin A\ne0\)，所以 \(\sin B=\dfrac{\sqrt3}{2}\)。\(B\) 是锐角，所以 \(B=\dfrac{\pi}{3}\)。
2. （2）消元化一\(C=\dfrac{2\pi}{3}-A\)，\(\cos A+\cos C=\cos A-\dfrac12\cos A+\dfrac{\sqrt3}{2}\sin A=\sin\left(A+\dfrac{\pi}{6}\right)\)。所以和为 \(\sin\left(A+\dfrac{\pi}{6}\right)+\dfrac12\)。
3. （2）定 \(A\) 的范围由 \(0<A<\dfrac{\pi}{2}\) 和 \(0<\dfrac{2\pi}{3}-A<\dfrac{\pi}{2}\)，得 \(\dfrac{\pi}{6}<A<\dfrac{\pi}{2}\)。
4. （2）求范围\(A+\dfrac{\pi}{6}\in\left(\dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3}\right)\)，\(\sin\left(A+\dfrac{\pi}{6}\right)\in\left(\dfrac{\sqrt3}{2},1\right]\)，所以和的取值范围是 \(\left(\dfrac{1+\sqrt3}{2},\dfrac32\right]\)。

答案：（1）\(B=\dfrac{\pi}{3}\)；（2）\(\left(\dfrac{1+\sqrt3}{2},\dfrac32\right]\)。

回头检验：\(A=B=C=\dfrac{\pi}{3}\) 时和为 \(\dfrac32\)，取得到；\(A\to\dfrac{\pi}{2}\) 时和趋于 \(\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}\)，但此时不再是锐角三角形，取不到。

容易错在：只写 \(0<A<\dfrac{2\pi}{3}\) 或 \(0<A<\dfrac{\pi}{2}\)，漏掉 \(C\) 也必须是锐角，范围就算大了。

• 要求 \(\omega\) 的范围。\(x\) 的区间固定时，\(\omega\) 改变的是换元后区间的哪一端？
• 这里有两个计数条件，而且区间是开的，端点上的点不算数；初相 \(\dfrac{\pi}{3}\) 也让左端点不是 0。
• 令 \(t=\omega x+\dfrac{\pi}{3}\)，在 \(t\) 轴上分别列出极值点和零点，各写一个右端点的不等式，再取公共部分。

1. 换元\(x\in(0,\pi)\) 时 \(t=\omega x+\dfrac{\pi}{3}\in\left(\dfrac{\pi}{3},T\right)\)，其中 \(T=\omega\pi+\dfrac{\pi}{3}\)。
2. 极值点计数\(\sin t\) 的极值点依次是 \(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2},\dfrac{5\pi}{2},\dfrac{7\pi}{2},\dots\)。恰有三个：\(\dfrac{5\pi}{2}<T\le\dfrac{7\pi}{2}\)。
3. 零点计数\(\sin t\) 在 \(t>\dfrac{\pi}{3}\) 的零点依次是 \(\pi,2\pi,3\pi,\dots\)。恰有两个：\(2\pi<T\le3\pi\)。
4. 取交集\(\dfrac{5\pi}{2}<T\le3\pi\)，即 \(\dfrac{5\pi}{2}<\omega\pi+\dfrac{\pi}{3}\le3\pi\)，解得 \(\dfrac{13}{6}<\omega\le\dfrac{8}{3}\)。

答案：C，\(\omega\) 的取值范围是 \(\left(\dfrac{13}{6},\dfrac{8}{3}\right]\)。

回头检验：\(\omega=\dfrac{8}{3}\) 时 \(T=3\pi\)，开区间不含 \(3\pi\)，零点仍是两个；\(\omega=\dfrac{13}{6}\) 时 \(T=\dfrac{5\pi}{2}\)，第三个极值点进不来，所以这一端不取等。

容易错在：沿用闭区间的习惯写等号。这里区间是开的，右端点碰到某个点时，这个点不算在内，所以不等式的开闭和闭区间的题正好相反。

• 第（2）问没有给任何具体的角，式子却能有最小值，说明条件里藏着角之间的什么关系？
• 右边的 \(\sin2B\) 和 \(1+\cos2B\) 还没化简；分母为 \(1+\cos 2B\) 也说明 \(\cos B\ne0\)。
• 用二倍角公式把右边化成 \(\dfrac{\sin B}{\cos B}\)，交叉相乘后合并成 \(\cos(A+B)\)。第（2）问再把边比写成角，用 \(t=\cos^2B\) 换元。

1. 化简条件\(1+\cos2B=2\cos^2B\ne0\)，右边 \(=\dfrac{2\sin B\cos B}{2\cos^2B}=\dfrac{\sin B}{\cos B}\)。交叉相乘：\(\cos A\cos B=\sin B+\sin A\sin B\)，所以 \(\cos(A+B)=\sin B\)，即 \(-\cos C=\sin B\)。
2. （1）求 \(B\)\(C=\dfrac{2\pi}{3}\) 时 \(\sin B=\dfrac12\)，又 \(0<B<\dfrac{\pi}{3}\)，所以 \(B=\dfrac{\pi}{6}\)。
3. （2）找角的关系\(\sin B>0\)，所以 \(\cos C<0\)，\(C\) 是钝角。\(\sin B=-\cos C=\sin\left(C-\dfrac{\pi}{2}\right)\)，且 \(B\) 与 \(C-\dfrac{\pi}{2}\) 都在 \(\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)\) 内，所以 \(C=B+\dfrac{\pi}{2}\)，\(A=\dfrac{\pi}{2}-2B\)。由 \(A>0\) 得 \(0<B<\dfrac{\pi}{4}\)。
4. （2）边比化角\(\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=\dfrac{\sin^2A+\sin^2B}{\sin^2C}=\dfrac{\cos^22B+\sin^2B}{\cos^2B}\)。令 \(t=\cos^2B\)，由 \(0<B<\dfrac{\pi}{4}\) 得 \(\dfrac12<t<1\)。此时 \(\cos2B=2t-1\)，\(\sin^2B=1-t\)，原式 \(=\dfrac{(2t-1)^2+1-t}{t}=4t+\dfrac{2}{t}-5\)。
5. （2）求最小值\(4t+\dfrac{2}{t}\ge2\sqrt8=4\sqrt2\)，等号在 \(4t=\dfrac{2}{t}\) 即 \(t=\dfrac{\sqrt2}{2}\) 时成立，这个值在 \(\left(\dfrac12,1\right)\) 内。所以最小值为 \(4\sqrt2-5\)。

答案：（1）\(B=\dfrac{\pi}{6}\)；（2）最小值为 \(4\sqrt2-5\)。

回头检验：\(t=\dfrac{\sqrt2}{2}\) 时 \(B\approx32.8^\circ\)，\(C\approx122.8^\circ\)，\(A\approx24.5^\circ\)，内角和为 \(180^\circ\)；代回边比约为 \(0.657\)，与 \(4\sqrt2-5\) 相符。

容易错在：用基本不等式后不检查取等的 \(t\) 是否落在 \(\left(\dfrac12,1\right)\) 内；或者漏掉 \(C\) 是钝角这一步，由 \(\sin B=-\cos C\) 得不到 \(C=B+\dfrac{\pi}{2}\)。

• 第（3）问要的 \(b\) 同时受两头管：既要有一个 \(\varphi\) 能做到，又要说明不能更小。这两件事分别要证什么？
• 第（1）问的最大值和第（2）问的存在性都还没有用上；\(\varphi\) 在式子里只是给 \(5x\) 这个整体角做平移。
• 第（2）问取 \(a=\varphi\)，选一个合适的 \(\theta\)，让 \(x\) 的范围恰好保证 \(\cos x\) 足够大；上界那边直接算 \(\varphi=0\)。

1. （1）求导判号\(f'(x)=5(\sin5x-\sin x)\)。把 \(5x=3x+2x,\ x=3x-2x\) 展开相减，得 \(f'(x)=10\cos3x\sin2x\)。在 \(\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right]\) 上 \(\sin2x>0\)，而 \(\cos3x\) 在 \(x<\dfrac{\pi}{6}\) 时为正，在 \(\dfrac{\pi}{6}<x\le\dfrac{\pi}{4}\) 时为负。
2. （1）最大值所以 \(f\) 先增后减，最大值为 \(f\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{5\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\)。
3. （2）反证假设 \([a-\theta,a+\theta]\) 上处处 \(\cos y>\cos\theta\)。因为 \(0<\theta<\pi\)，\(\cos y>\cos\theta\) 的解集是互不相交的开区间 \((2k\pi-\theta,2k\pi+\theta)\)，\(k\in\mathbf Z\)。闭区间连成一段，只能整个落在其中一个开区间里；可是两者长度都是 \(2\theta\)，闭区间放不进同样长的开区间，矛盾。
4. （3）上界取 \(\varphi=0\)，函数就是 \(f\)。\(f\) 是偶函数，周期为 \(2\pi\)，只看 \([0,\pi]\)。由 \(f'(x)=10\cos3x\sin2x\) 判号，\(f\) 在 \(\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\) 增，在 \(\left[\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right]\) 减，在 \(\left[\dfrac{5\pi}{6},\pi\right]\) 增。\(f(\pi)=-4<3\sqrt3\)，所以 \(f\) 的最大值为 \(3\sqrt3\)，\(b=3\sqrt3\) 能做到。
5. （3）下界任取 \(\varphi\)。在第（2）问中取 \(a=\varphi,\ \theta=\dfrac{5\pi}{6}\)，存在 \(y\in\left[\varphi-\dfrac{5\pi}{6},\varphi+\dfrac{5\pi}{6}\right]\) 使 \(\cos y\le-\dfrac{\sqrt3}{2}\)。令 \(x=\dfrac{y-\varphi}{5}\)，则 \(|x|\le\dfrac{\pi}{6}\)，\(\cos x\ge\dfrac{\sqrt3}{2}\)，于是 \(5\cos x-\cos(5x+\varphi)\ge\dfrac{5\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\)。所以 \(b\ge3\sqrt3\)，最小值为 \(3\sqrt3\)。

答案：（1）\(3\sqrt3\)；（2）证明见解析；（3）\(3\sqrt3\)。

回头检验：用 \(\varphi=\pi\) 试一下：\(x=0\) 时 \(5\cos0-\cos\pi=6>3\sqrt3\)，这个 \(\varphi\) 更差，与下界结论不矛盾；\(\varphi=0\) 时 \(x=0\) 处只有 \(4\)，最大值在 \(x=\dfrac{\pi}{6}\)。

容易错在：第（3）问只算 \(\varphi=0\) 就下结论，那只说明 \(3\sqrt3\) 够用，没有说明不能更小；另外第（2）问不能只举一个 \(a\) 的例子。

• 四个选项有的只关于角，有的关于边。判断边的选项，既要知道三角形的形状，也要知道它的大小。这两样分别靠哪个条件定下来？
• 第一个等式里有 \(\cos2A,\cos2B\)，用倍角公式能直接化成某个选项的样子。第二个等式说明 \(\cos A\cos B>0\)，这告诉你 \(A,B\) 是什么角？
• 把 \(\cos2A+\cos2B\) 写成 \(\cos[(A+B)+(A-B)]+\cos[(A+B)-(A-B)]\) 展开，得到 \(\sin C=1+\cos C\cos(A-B)\)。先判断 \(\cos C\) 的符号，再排除钝角。

1. 化简第一个等式\(\cos2A+\cos2B=2-2(\sin^2A+\sin^2B)\)，代入得 \(\sin C=\sin^2A+\sin^2B\)，A 正确。
2. A、B 都是锐角\(\cos A\cos B\sin C=\dfrac14>0\) 且 \(\sin C>0\)，所以 \(\cos A\cos B>0\)。三角形至多一个钝角，故 \(A,B\) 都是锐角，\(|A-B|<\dfrac{\pi}{2}\)，\(\cos(A-B)>0\)。
3. 证明 C 是直角\(\cos2A+\cos2B=\cos[(A+B)+(A-B)]+\cos[(A+B)-(A-B)]=2\cos(A+B)\cos(A-B)=-2\cos C\cos(A-B)\)。结合上一步得 \(\sin C=1+\cos C\cos(A-B)\)。若 \(\cos C>0\)，则 \(\sin C>1\)，不可能。若 \(\cos C<0\)，则 \(A+B<\dfrac{\pi}{2}\)，\(0\le|A-B|<A+B\)，所以 \(\cos(A-B)>\cos(A+B)=-\cos C\)，乘以负数 \(\cos C\) 得 \(\sin C<1-\cos^2C=\sin^2C\)；但 \(0<\sin C<1\) 时 \(\sin^2C<\sin C\)，矛盾。所以 \(\cos C=0\)，\(C=\dfrac{\pi}{2}\)。
4. 由面积定大小\(C=\dfrac{\pi}{2}\) 时 \(\cos B=\sin A\)，\(\cos A=\sin B\)，第二个等式变成 \(\sin A\sin B=\dfrac14\)。记 \(a=BC,\ b=CA,\ c=AB\)，由正弦定理 \(a=c\sin A,\ b=c\sin B\)。面积 \(\dfrac12ab=\dfrac12c^2\sin A\sin B=\dfrac{c^2}{8}=\dfrac14\)，所以 \(c^2=2\)，\(AB=\sqrt2\)，B 正确。
5. 判断 C、D\((\sin A+\sin B)^2=\sin^2A+\sin^2B+2\sin A\sin B=1+\dfrac12=\dfrac32\)，两个正数相加取正根，\(\sin A+\sin B=\dfrac{\sqrt6}{2}\)，C 正确。\(AC^2+BC^2=b^2+a^2=c^2=2\ne3\)，D 错误。选 ABC。

答案：ABC

回头检验：取 \(C=\dfrac{\pi}{2},\ A=\dfrac{\pi}{12},\ B=\dfrac{5\pi}{12}\)：\(\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\dfrac{5\pi}{6}+2=2\)；\(\cos\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{5\pi}{12}=\sin\dfrac{\pi}{12}\cos\dfrac{\pi}{12}=\dfrac12\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac14\)。两个条件都成立，说明这样的三角形确实存在。

容易错在：看到 \(\sin C=\sin^2A+\sin^2B\) 就当成勾股定理。由正弦定理，它说的是 \(c\) 与 \(a^2+b^2\) 成比例，不是 \(c^2=a^2+b^2\)；\(C\) 是直角要另外证，钝角的情形要用不等式排除。

• 要求的是比值最小时 \(BD\) 的长度。三角形的形状由哪一个量决定？先选它作变量。
• \(\angle ADB=120^\circ\)，那么 \(\angle ADC\) 是多少？\(AD=2\) 和 \(CD=2BD\) 让两个小三角形都只剩一条边不知道。
• 设 \(BD=x\)，在 \(\triangle ABD\)、\(\triangle ACD\) 中各用一次余弦定理，先比较平方的比值。分子、分母都是二次式，分离常数后换元，用基本不等式，并检查等号能否取到。

1. 两次余弦定理设 \(BD=x\ (x>0)\)，则 \(CD=2x\)，\(\angle ADC=60^\circ\)。\(AB^2=4+x^2-2\cdot2\cdot x\cos120^\circ=x^2+2x+4\)，\(AC^2=4+4x^2-2\cdot2\cdot2x\cos60^\circ=4x^2-4x+4\)。
2. 分离常数\(\dfrac{AC^2}{AB^2}=\dfrac{4(x^2+2x+4)-12(x+1)}{x^2+2x+4}=4-\dfrac{12(x+1)}{(x+1)^2+3}\)。
3. 基本不等式令 \(t=x+1>1\)，\(\dfrac{12t}{t^2+3}=\dfrac{12}{t+\frac3t}\le\dfrac{12}{2\sqrt3}=2\sqrt3\)，当且仅当 \(t=\sqrt3\) 时取等，而 \(\sqrt3>1\)，等号取得到。
4. 结论\(\dfrac{AC^2}{AB^2}\ge4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2\)，所以 \(\dfrac{AC}{AB}\) 的最小值是 \(\sqrt3-1\)，此时 \(x+1=\sqrt3\)，\(BD=\sqrt3-1\)。

答案：\(\sqrt3-1\)

回头检验：\(BD=\sqrt3-1\) 时 \(AB^2=(x+1)^2+3=6\)，\(AC^2=4(x^2-x+1)=24-12\sqrt3\)，比值的平方是 \(4-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2\)，与最小值一致。

容易错在：把 \(\angle ADC\) 也当成 \(120^\circ\)；或者直接对 \(\dfrac{AC}{AB}\) 求最小值，被根号拖住。先比较平方，最后再开方。题目问的是 \(BD\)，不是最小值本身。

• 要求 \(\theta\) 的最小值：既要找到一个能做到的 \(\theta\)，又要说明比它小的都做不到。
• \(\cos t<\dfrac{\sqrt3}{2}\) 在单位圆上意味着角 \(t\) 的终边不能落在哪段弧上？这段弧多长，端点能不能碰？\(\varphi\) 可以自选，相当于把所有点一起转动。
• 点 \(n\theta+\varphi\) 每步转过 \(\theta\)。步长不超过弧长，就跨不过这段弧。步长比弧长大时，每隔 \(k\) 步看一次，净转动是 \(k\theta\) 与 \(2\pi\) 的差，它比弧长小时同样跨不过。再想圆周被等分成几份时，空隙才放得下这段弧。

1. 翻译条件\(\cos t\ge\dfrac{\sqrt3}{2}\) 当且仅当 \(t\) 的终边落在闭弧 \(\left[-\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{6}\right]\)（按 \(2\pi\) 的整数倍平移）上，这段弧长 \(\dfrac{\pi}{3}\)。条件就是：能选 \(\varphi\)，让所有点 \(n\theta+\varphi\) 都不落在这段闭弧上。
2. 步长不超过弧长时不行设 \(0<\theta\le\dfrac{\pi}{3}\)。点每步沿逆时针前进 \(\theta\)，一直绕圈，总有一步落在弧前面长为 \(\theta\) 的一段 \(\left[-\dfrac{\pi}{6}-\theta,-\dfrac{\pi}{6}\right)\) 里。下一步落在 \(\left[-\dfrac{\pi}{6},-\dfrac{\pi}{6}+\theta\right)\) 里，这在闭弧内。所以 \(\varphi\) 怎么选都不行。
3. 每 5 步净转动很小时也不行设 \(\dfrac{\pi}{3}<\theta<\dfrac{2\pi}{5}\)。这时 \(5\theta\in\left(\dfrac{5\pi}{3},2\pi\right)\)，每走 5 步，点相当于顺时针退回 \(\delta=2\pi-5\theta\)，且 \(0<\delta<\dfrac{\pi}{3}\)。只看第 \(1,6,11,\dots\) 个点，它们每次退 \(\delta\)，和上一步同理跨不过这段闭弧，一定有一个落进去。
4. 找出能做到的最小值取 \(\theta=\dfrac{2\pi}{5}\)，\(\varphi=\dfrac{\pi}{5}\)。点依次是 \(\dfrac{3\pi}{5},\pi,\dfrac{7\pi}{5},\dfrac{9\pi}{5},\dfrac{11\pi}{5}\)，之后循环，正好五等分圆周。最靠近弧的两个点是 \(\dfrac{\pi}{5}\) 和 \(-\dfrac{\pi}{5}\)，余弦都是 \(\cos\dfrac{\pi}{5}<\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}\)，条件成立。结合前两步，\(\theta\) 的最小值是 \(\dfrac{2\pi}{5}\)。

答案：\(\dfrac{2\pi}{5}\)

回头检验：\(\theta=\dfrac{2\pi}{5}\) 时五个点相邻间隔 \(\dfrac{2\pi}{5}>\dfrac{\pi}{3}\)，空隙放得下这段弧；\(\theta=\dfrac{\pi}{3}\) 时六个点间隔恰好等于弧长，闭弧一定会碰到其中一个点，与第 2 步一致。

容易错在：以为 \(\theta>\dfrac{\pi}{3}\) 就可以，只比较了一步的长度；其实每隔几步的净转动也可能很小。另外弧的端点也不能碰，比较时不等号要严格。

• 先用 \(0\in A\) 和 \(A\subseteq B\)，确定参数只有哪些候选。
• 候选还要使 \(-a\) 也属于 \(B\)；不要只验一个元素。

1. 固定元素先缩小范围因为 \(0\in A\subseteq B\)，且 \(1\ne0\)，所以 \(a-2=0\) 或 \(2a-2=0\)。候选是 \(a=2\) 或 \(a=1\)。
2. 逐个候选代回当 \(a=2\) 时，\(A=\{0,-2\}\)，\(B=\{1,0,2\}\)，\(-2\notin B\)，排除。当 \(a=1\) 时，\(A=\{0,-1\}\)，\(B=\{1,-1,0\}\)，包含成立。

答案：B，\(a=1\)。

回头检验：若 \(a=0\)，原列举式 \(A=\{0,0\}\) 与 \(B=\{1,-2,-2\}\) 均出现重复元素，违背互异性，必须舍去。候选参数还须逐项检验包含关系。

容易错在：把必要条件当成充分条件，只验了固定元素就停笔。

本题用到的方法：集合包含逐元素检验、函数关系翻译

• 分别记题目前后两句话为 \(P,Q\)，把 \(P\Rightarrow Q\) 和 \(Q\Rightarrow P\) 分开判断。
• 平方会丢掉符号；用一个简单角度组合检查反向推理。

1. 证明必要性记 \(P:\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，\(Q:\sin\alpha+\cos\beta=0\)。由 \(Q\) 得 \(\sin\alpha=-\cos\beta\)，平方后 \(\sin^2\alpha=\cos^2\beta=1-\sin^2\beta\)，所以 \(Q\Rightarrow P\)。
2. 反例否定充分性取 \(\alpha=\pi/2,\beta=0\)，则 \(\sin^2\alpha+\sin^2\beta=1\)，但 \(\sin\alpha+\cos\beta=2\ne0\)。故 \(P\) 成立不能保证 \(Q\)。

答案：B，必要条件但不是充分条件。

回头检验：条件 \(P\) 等价于 \(|\sin\alpha|=|\cos\beta|\)，只控制绝对值；\(Q\) 还要求两者互为相反数。

容易错在：只看到平方后的等式相同，就把两个方向都判为成立。

本题用到的方法：集合包含逐元素检验、函数关系翻译

• 函数恒正，先研究其对数，单调性不变。
• 第（2）问先分 \(0<a<1\) 和 \(a>1\)；有极大值并不等于有两个交点。

1. （1）研究对数令 \(h(x)=\ln f(x)=2\ln x-x\ln2\)，\(h\prime(x)=2/x-\ln2\)。所以 \(f\) 在 \((0,2/\ln2)\) 递增，在 \((2/\ln2,+\infty)\) 递减。
2. （2）先分参数一般地 \(h(x)=a\ln x-x\ln a\)。当 \(0<a<1\) 时，\(h\prime(x)=a/x-\ln a>0\)，且 \(h(a)=0\)，只有一个交点。
3. （2）比较极大值与零当 \(a>1\) 时，\(h\) 在 \(x_*=a/\ln a\) 处取得最大值，两端趋于负无穷。由 \(a-\mathrm e\ln a\ge0\)（对左端求导，最小值在 \(a=\mathrm e\) 处取得）得 \(x_*\ge\mathrm e\)，故 \(h(x_*)=a(\ln x_*-1)\ge0\)，等号恰在 \(a=\mathrm e\) 成立。
4. （2）数交点当 \(a>1\) 且 \(a\ne\mathrm e\) 时，最大值严格大于零，增减两段各有一个零点。当 \(a=\mathrm e\) 时只有最大值点一个零点。因此 \(a\in(1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

答案：（1）增区间 \((0,2/\ln2)\)，减区间 \((2/\ln2,+\infty)\)；（2）\((1,\mathrm e)\cup(\mathrm e,+\infty)\)。

回头检验：\(a=2\) 时 \(x=2,4\) 都使 \(f(x)=1\)；\(a=\mathrm e\) 时只在 \(x=\mathrm e\) 接触直线。\(a=1\) 已被题设排除。

容易错在：不能把极大值等于 1 时的相切算成两个交点；取对数前要说明函数恒正。

本题用到的方法：对数化简求导、导数符号与参数分类

• 设三次曲线切点横坐标为 \(t\)，抛物线切点横坐标为 \(u\)；不要把它们当成同一个数。
• 同一条直线的斜率与截距都相同，消去 \(u\) 后再求参数的范围。

1. 同斜率、同截距三次曲线在 \(t\) 处的切线是 \(y=(3t^2-1)x-2t^3\)；抛物线在 \(u\) 处的切线是 \(y=2ux+a-u^2\)。故 \(u=(3t^2-1)/2\)，\(a=u^2-2t^3\)。
2. （1）代入指定切点\(t=-1\) 时 \(u=1\)，于是 \(a=1+2=3\)。两条切线均为 \(y=2x+2\)。
3. （2）参数变成函数值域令 \(A(t)=(9t^4-8t^3-6t^2+1)/4\)，则 \(A\prime(t)=3t(3t+1)(t-1)\)。驻点为 \(-1/3,0,1\)，对应函数值为 \(5/27,1/4,-1\)。
4. （2）核对全局与取得到导数符号从左到右为负、正、负、正，且 \(t\to\pm\infty\) 时 \(A(t)\to+\infty\)。最小值为 \(-1\)，在 \(t=1\) 处取得。右侧递增分支连续，值域为 \([-1,+\infty)\)，其中每个值都对应一条公切线。

答案：（1）\(a=3\)；（2）\(a\in[-1,+\infty)\)。

回头检验：最小值 \(a=-1\) 时，\(t=u=1\)，两曲线的切线都是 \(y=2x-2\)，所以端点符合题意。

容易错在：只令导数相同还不够，还须让切线截距相同；比较各局部极小值后才能认定全局最小值。

本题用到的方法：对数化简求导、导数符号与参数分类

• 把 \(|\overrightarrow{AB}|^2\) 用位置向量展开，求出 \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\)。
• 将目标向量化成 \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}\)。
• 先求前两项的合向量模，再用两向量和的模的上下界。

1. 求和向量的模由 \(|\boldsymbol b-\boldsymbol a|^2=4\) 且 \(|\boldsymbol a|=|\boldsymbol b|=\sqrt2\)，得 \(\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0\)，所以 \(|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=2\)。
2. 平移并取范围\(2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a+\boldsymbol b-2\boldsymbol c\)，其中 \(|2\boldsymbol c|=10\)。因此模的范围为 \([|10-2|,10+2]=[8,12]\)。

答案：D，\([8,12]\)。

回头检验：等长正交向量的和长为2，且整体旋转可以与 \(2\boldsymbol c\) 同向或反向，两个端点都能取得。

容易错在：把 \(\overrightarrow{CA}\) 展开成 \(\boldsymbol c-\boldsymbol a\)，或误把三角不等式下界写成0。

• 先用 \(D\) 是 \(AB\) 中点写出 \(\overrightarrow{AD}\)。
• 由 \(\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CD}\)，先求出 \(\overrightarrow{CD}\) 再从 \(A\) 到 \(E\) 分段相加。
• 把结果整理成 \(\vec a,\vec b\) 的线性组合并检查方向。

1. 写出辅助向量\(D\) 为 \(AB\) 中点，所以 \(\overrightarrow{AD}=\frac12\vec a\)，从而 \(\overrightarrow{CD}=\frac12\vec a-\vec b\)。
2. 沿路径求 \(AE\)\(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\vec b+\frac13(\frac12\vec a-\vec b)=\frac16\vec a+\frac23\vec b\)。

答案：\(\overrightarrow{AE}=\dfrac16\vec a+\dfrac23\vec b\)。

回头检验：将结果代回 \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}\)，可还原 \(\overrightarrow{CE}=\frac13\overrightarrow{CD}\)。

容易错在：把 \(\overrightarrow{CD}\) 写成 \(\vec b-\frac12\vec a\)，方向反了。

• 先由底面三条相等的边确定等腰梯形的高；不能直接把梯形的两腰当作坐标轴。
• 证明垂直可检验方向向量点积；线面角的正弦用直线方向向量与平面法向量求。

1. 建系并确定底面以 \(D\) 为原点，\(DC\) 为 \(x\) 轴正向，底面为 \(xy\) 平面。等腰梯形两底长分别为 2、1，两腰长为 1，故高为 \(\sqrt3/2\)。可取 \(D(0,0,0)\)，\(C(1,0,0)\)，\(A(-1/2,\sqrt3/2,0)\)，\(B(3/2,\sqrt3/2,0)\)，\(P(0,0,\sqrt3)\)。
2. （1）计算点积\(\overrightarrow{DB}=(3/2,\sqrt3/2,0)\)，\(\overrightarrow{AP}=(1/2,-\sqrt3/2,\sqrt3)\)，点积为 \(3/4-3/4=0\)，所以 \(BD\perp PA\)。
3. （2）找平面法向量\(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\)。向量 \(\boldsymbol n=(0,2,1)\) 与 \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\) 都垂直，且这两个面内向量不共线，故它是平面 \(PAB\) 的法向量。
4. （2）由法向量求正弦\(PD\) 的单位方向向量可取 \(\boldsymbol e=(0,0,1)\)。若线面角为 \(\theta\)，则 \(\sin\theta=|\boldsymbol e\cdot\boldsymbol n|/|\boldsymbol n|=1/\sqrt5=\sqrt5/5\)。

答案：（1）\(BD\perp PA\)；（2）正弦值为 \(\sqrt5/5\)。

回头检验：平面 \(PAB\) 的方程为 \(2y+z=\sqrt3\)，\(P,A,B\) 均满足；\(PD\) 沿竖直方向，与法向量的夹角余弦为 \(1/\sqrt5\)。

容易错在：正交坐标轴必须有垂直依据；线面角的正弦对应法向量夹角余弦，不能再取一次余角。

• 先把正方形放在 \(xy\) 平面；距离平方相减会消去三项平方。
• 二面角 \(B-QD-A\) 要取指向 \(B,A\) 所在半平面的垂棱向量，不能只凭法向量点积的正负。

1. （1）由距离找高取 \(A(0,0,0)\)，\(D(2,0,0)\)，\(B(0,2,0)\)，\(C(2,2,0)\)，设 \(Q(x,y,z)\)。由 \(QA^2=QD^2=5\) 得 \(x=1\)；由 \(QC^2-QD^2=9-5=4\) 得 \(-4y+4=4\)，故 \(y=0\)。进而 \(z^2=4\)，选取朝向 \(Q\) 的 \(z\) 轴，令 \(Q(1,0,2)\)。
2. （1）证明面面垂直\(QAD\) 是平面 \(y=0\)，它包含竖直直线 \(QH\)，其中 \(H(1,0,0)\)。\(QH\perp\) 平面 \(ABCD\)，所以平面 \(QAD\perp\) 平面 \(ABCD\)。
3. （2）作垂直于棱的两个方向取棱方向 \(\boldsymbol e=\overrightarrow{DQ}=(-1,0,2)\)。从 \(\overrightarrow{DA}=(-2,0,0)\)、\(\overrightarrow{DB}=(-2,2,0)\) 中各减去沿 \(\boldsymbol e\) 的投影，得 \(\boldsymbol u=(-8/5,0,-4/5)\)、\(\boldsymbol v=(-8/5,2,-4/5)\)。两者都垂直于棱，且分别指向 \(A,B\) 所在半平面。
4. （2）计算实际二面角\(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=16/5\)，\(|\boldsymbol u|^2=16/5,|\boldsymbol v|^2=36/5\)。所以二面角平面角的余弦为 \(\frac{16/5}{(4/\sqrt5)(6/\sqrt5)}=2/3\)。

答案：（1）两平面垂直；（2）二面角平面角的余弦值为 \(2/3\)。

回头检验：\(Q(1,0,2)\) 到 \(A,D,C\) 的距离平方依次是 5、5、9。垂棱向量的点积为正，所求为锐二面角，其余弦应为正。

容易错在：距离差求出的只是投影坐标，还要检查高度非零；指定半平面的二面角不能直接用任意两条法向量的夹角代替。

• 第一问先找一条垂直于整个平面的直线。
• 球心设为 \((u,v,w)\)；比较到两点距离的平方，避免直接解球面方程。
• 直线夹角按不大于直角的角取值，点积取绝对值。

1. （1）证明垂直\(PA\perp\) 平面 \(ABCD\)，故 \(AB\perp PA\)；又 \(AB\perp AD\)。\(PA,AD\) 相交于 \(A\)，所以 \(AB\perp\) 平面 \(PAD\)。因 \(AB\subset\) 平面 \(PAB\)，得两平面垂直。
2. （2）（i）设坐标求球心取 \(A(0,0,0)\)，\(B(\sqrt2,0,0)\)，\(D(0,1+\sqrt3,0)\)，\(C(\sqrt2,2,0)\)，\(P(0,0,\sqrt2)\)。设 \(O(u,v,w)\)。由 \(OC^2=OB^2\) 得 \(v=1\)；由 \(OB^2=OP^2\) 得 \(u=w\)。
3. （2）（i）检验球心在底面记 \(d=1+\sqrt3\)。由 \(OD^2=OP^2\) 得 \(-2dv+d^2=-2\sqrt2w+2\)。代入 \(v=1\) 及 \(d^2-2d=2\)，得 \(w=0\)，故 \(u=0\)。于是 \(O(0,1,0)\) 在平面 \(ABCD\) 上。
4. （2）（ii）求夹角\(\overrightarrow{AC}=(\sqrt2,2,0),\overrightarrow{PO}=(0,1,-\sqrt2)\)，模长分别为 \(\sqrt6,\sqrt3\)。所求余弦为 \(2/(\sqrt6\sqrt3)=\sqrt2/3\)。

答案：（1）两平面垂直；（2）（i）\(O(0,1,0)\) 在底面上；（ii）所求余弦值为 \(\sqrt2/3\)。

回头检验：\(O\) 到 \(P,B,C,D\) 的距离平方均为 3，四点不共面，球心确实唯一；夹角余弦 \(\sqrt2/3\) 在 \([0,1]\) 中。

容易错在：球心可以位于底面，不能凭示意图把它设在锥体内部；等距离方程相减时要保持同一组坐标。

• 第（1）问先由 \(PA\perp\) 底面和 \(AD\perp PB\) 推出 \(AD\perp AB\)。
• 第（2）问可改用 \(AC\) 作横轴。\(AD\perp DC\) 给出以 \(AC\) 为直径的圆。
• 平方后的候选点必须回到四棱锥的条件，排除点重合和底面退化。

1. （1）证明线面平行\(AD\perp PA\) 且 \(AD\perp PB\)，所以 \(AD\perp\) 平面 \(PAB\)，进而 \(AD\perp AB\)。由 \(AB^2+BC^2=AC^2\) 得 \(AB\perp BC\)，故底面内 \(AD\parallel BC\)。\(BC\subset\) 平面 \(PBC\)，且该平面与底面的交线为 \(BC\)，\(AD\) 与 \(BC\) 不重合，故 \(AD\parallel\) 平面 \(PBC\)。
2. （2）把垂直条件变成圆取 \(A(0,0,0)\)，\(C(2,0,0)\)，\(P(0,0,2)\)，\(B(3/2,-\sqrt3/2,0)\)。设 \(D(x,y,0)\)。由 \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}=0\) 得 \(x^2+y^2=2x\)，即 \(y^2=x(2-x)\)。\(D=A,C\) 或 \(y=0\) 都会使底面退化，应排除。
3. （2）由二面角列方程平面 \(PAC\) 的法向量为 \(\boldsymbol n_1=(0,1,0)\)；平面 \(PCD\) 的法向量可取 \(\boldsymbol n_2=(2y,4-2x,2y)\)。所求角的正弦平方为 \(6/7\)，故两法向量夹角的余弦平方为 \(1/7\)，即 \(\frac{(4-2x)^2}{8y^2+(4-2x)^2}=1/7\)。分母非零。
4. （2）解方程并排除退化整理得 \(y^2=3(2-x)^2\)。联立圆方程，得 \((2-x)(6-4x)=0\)。\(x=2\) 会给 \(D=C\)，排除。故 \(x=3/2,y=\pm\sqrt3/2\)。取负号时 \(D=B\)，要排除；取正号时，四边形符合题意。于是 \(AD^2=2x=3\)，\(AD=\sqrt3\)。

答案：（1）\(AD\parallel\) 平面 \(PBC\)；（2）\(AD=\sqrt3\)。

回头检验：取符合题意的点 \(D(3/2,\sqrt3/2,0)\)，有 \(AD^2=3,DC^2=1\)，两条边垂直；法向量的余弦平方为 \(1/7\)，二面角正弦确为 \(\sqrt{42}/7\)。

容易错在：两小问的附加条件分别使用，不能把第一问的垂直条件带到第二问；平方方程中的重合点不能作为几何答案。

• 菱形对角线互相垂直；第三问不必沿用第二问的特殊角度。
• 设 \(F=P+t(B-P)\)，先记下 \(0\le t\le1\)。
• 先用法向量点积为零求参数，再检查直线是否落在平面内。

1. （Ⅰ）证明第一组面垂直菱形有 \(BD\perp AC\)，又 \(PA\perp\) 底面给 \(BD\perp PA\)。\(AC,PA\) 相交，所以 \(BD\perp\) 平面 \(PAC\)。
2. （Ⅱ）在特殊角度下证明当 \(\angle ABC=60^\circ\) 时，设边长为 \(b>0\)，取 \(A(0,0,0)\)，\(B(b,0,0)\)，\(D(-b/2,\sqrt3b/2,0)\)，\(P(0,0,h)\)，其中 \(h>0\)。则 \(E(0,\sqrt3b/2,0)\)，\(AB\perp AE\) 且 \(AB\perp PA\)，故 \(AB\perp\) 平面 \(PAE\)，推出平面 \(PAB\perp\) 平面 \(PAE\)。
3. （Ⅲ）对一般菱形设参本问回到一般菱形。取 \(A(0,0,0)\)，\(B(b,0,0)\)，\(D(u,v,0)\)，\(P(0,0,h)\)，其中 \(b,v,h>0,u^2+v^2=b^2\)。有 \(C(u+b,v,0)\)，\(E(u+b/2,v,0)\)。平面 \(PAE\) 的非零法向量可取 \(\boldsymbol n=(v,-u-b/2,0)\)。
4. （Ⅲ）求必要条件令 \(F=(bt,0,h(1-t))\)，\(0\le t\le1\)。若 \(CF\parallel\) 平面 \(PAE\)，则 \(\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{CF}=bv(t-1/2)=0\)。因 \(bv>0\)，只能有 \(t=1/2\)。
5. （Ⅲ）验证充分与唯一取 \(t=1/2\)，即 \(F\) 为 \(PB\) 中点，确在棱上。此时 \(\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{CF}=0\)，而 \(\boldsymbol n\cdot C=bv/2\ne0\)，故 \(C\) 不在平面 \(PAE\)，整条 \(CF\) 与该平面不相交。因此存在且仅存在此点。

答案：（Ⅰ）\(BD\perp\) 平面 \(PAC\)；（Ⅱ）两平面垂直；（Ⅲ）存在且唯一，\(F\) 为 \(PB\) 中点。

回头检验：\(t=1/2\in[0,1]\)，线 \(CF\) 的法向量投影恒为 \(bv/2\ne0\)，所以它严格平行于平面；第三问对任意非退化菱形均成立。

容易错在：法向量点积为零只说明方向平行，还要排除直线位于平面内；第三问没有给出第二问的 60 度条件，不能直接代入。

• 两平面都含有过 \(P\) 且平行于 \(AD\) 的直线。
• \(Q\) 在整条交线上，参数可取所有实数。把线面角写成 \(|a+bt|/\sqrt{c+dt^2}\)。
• 只求极限不能代替最大值；要给出使上界取得的实际点。

1. （1）确定交线及垂直底面为正方形，\(AD\parallel BC\)。过 \(P\) 作平行于 \(AD\) 的直线，它同时属于平面 \(PAD,PBC\)，故就是交线 \(l\)。又 \(AD\perp DC,AD\perp PD\)，所以 \(AD\perp\) 平面 \(PDC\)，进而 \(l\perp\) 平面 \(PDC\)。
2. （2）设交线上动点的参数坐标取 \(D(0,0,0)\)，\(A(1,0,0)\)，\(C(0,1,0)\)，\(B(1,1,0)\)，\(P(0,0,1)\)。交线为 \(Q(t,0,1),t\in\mathbb R\)。平面 \(QCD\) 的非零法向量可取 \(\boldsymbol n=(1,0,-t)\)，任意实数 \(t\) 都不会使该平面退化。
3. （2）求上界\(\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)\)，故线面角 \(\theta\) 满足 \(\sin\theta=|1+t|/(\sqrt3\sqrt{1+t^2})\)。由 \(2(1+t^2)-(1+t)^2=(t-1)^2\ge0\)，得 \(\sin^2\theta\le2/3\)。
4. （2）证明取得到等号当且仅当 \(t=1\)。此时 \(Q(1,0,1)\) 在交线上，平面 \(QCD\) 合法，正弦为 \(\sqrt{2/3}=\sqrt6/3\)。因此最大值是 \(\sqrt6/3\)，在上述点处取到。

答案：（1）\(l\perp\) 平面 \(PDC\)；（2）正弦最大值为 \(\sqrt6/3\)，在 \(Q(1,0,1)\) 取得（以解析所建坐标系为准）。

回头检验：\(t=1\) 时 \(\boldsymbol n=(1,0,-1)\)，点积绝对值为 2，模长乘积为 \(\sqrt6\)。\(t=-1\) 时线面角为 0，绝对值与参数负值均已覆盖。

容易错在：交线不是线段，不可擅加参数范围；去掉分子的绝对值会漏掉部分位置；无穷远处的极限并非本题最大值。

• \(BF\perp A_1B_1\) 与直棱柱条件一起，可以先确定 \(AB\perp BC\)。
• 设 \(t=B_1D\)，不要丢掉 \(0\le t\le2\)。
• 二面角正弦恒非负，可以先求其平方的最小值；最后验回合法的取等点。

1. 先确定底面直角并建系直棱柱中 \(CF\perp AB\)，又 \(BF\perp A_1B_1\) 且 \(A_1B_1\parallel AB\)，故 \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BF}-\overrightarrow{CF}\) 与 \(AB\) 垂直。侧面是正方形，柱高为 2。取 \(B(0,0,0)\)，\(A(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(B_1(0,0,2)\)，\(A_1(2,0,2)\)，\(C_1(0,2,2)\)。
2. （1）证明垂直\(E(1,1,0)\)，\(F(0,2,1)\)。设 \(D(t,0,2)\)，\(0\le t\le2\)。有 \(\overrightarrow{BF}=(0,2,1),\overrightarrow{DE}=(1-t,1,-2)\)，点积为 \(2-2=0\)，所以对棱上所有 \(D\)，均有 \(BF\perp DE\)。
3. （2）法向量与角度函数平面 \(BB_1C_1C\) 的法向量为 \((1,0,0)\)。平面 \(DFE\) 的法向量可取 \(\boldsymbol n=(3,t+1,2-t)\)，它与 \(DE,DF\) 都垂直且恒非零。若二面角为 \(\theta\)，则 \(\sin^2\theta=\frac{(t+1)^2+(2-t)^2}{9+(t+1)^2+(2-t)^2}\)。
4. （2）化为平方并取最小令 \(U=(t+1)^2+(2-t)^2=2(t-1/2)^2+9/2\)。\(U/(9+U)=1-9/(9+U)\) 随 \(U\ge0\) 增大而增大，故当 \(t=1/2\in[0,2]\) 时最小，\(\sin^2\theta=(9/2)/(27/2)=1/3\)。因此当 \(B_1D=1/2\) 时，二面角正弦取得最小值 \(\sqrt3/3\)。

答案：当 \(B_1D=1/2\) 时，二面角的正弦值最小，为 \(\sqrt3/3\)。第一问对棱上任意 \(D\) 均成立。

回头检验：取 \(t=1/2\)，法向量为 \((3,3/2,3/2)\)，与 \(x\) 轴夹角的余弦平方为 \(2/3\)，正弦平方为 \(1/3\)；两端 \(t=0,2\) 的正弦平方分别为 \(5/14,1/2\)，都更大。

容易错在：棱上点的参数有闭区间范围；不要把法向量夹角余弦的最大值误称为原二面角正弦的最大值。

• 要求 \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}\) 的最大值。这两个向量里，哪些量是定的，哪个量随割线的位置变化？
• \(D\) 是弦 \(BC\) 的中点，这个条件还没用：连 \(OD\)，它和割线是什么位置关系？割线要和圆交于两点，它的方向能转到多大？
• 设割线与 \(PO\) 的夹角为 \(\alpha\)，在直角三角形 \(OPD\) 中写出 \(|PD|\)，再用数量积的定义写成 \(\alpha\) 的三角函数，降次后化成一个角。

1. 找定值\(PA\) 是切线，所以 \(OA\perp PA\)。由 \(|OA|=1\)，\(|PO|=\sqrt2\)，得 \(|PA|=1\)，\(\angle OPA=\dfrac{\pi}{4}\)。
2. 选变量并定范围\(D\) 是弦 \(BC\) 的中点，所以 \(OD\perp BC\)（割线过圆心时 \(D\) 就是 \(O\)）。设射线 \(PD\) 与射线 \(PO\) 的夹角为 \(|\alpha|\)：\(PD\) 与 \(PA\) 在 \(PO\) 同侧时取 \(\alpha\ge0\)，在异侧时取 \(\alpha<0\)。圆心到割线的距离是 \(\sqrt2|\sin\alpha|\)，要小于半径 1，所以 \(\alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)\)。在直角三角形 \(OPD\) 中，\(|PD|=\sqrt2\cos\alpha\)。
3. 写成三角函数两种情形下，\(\overrightarrow{PA}\) 与 \(\overrightarrow{PD}\) 的夹角都是 \(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\)。所以 \(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PD}=1\cdot\sqrt2\cos\alpha\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac12+\dfrac{\sqrt2}{2}\sin\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)\)。
4. 看整体角的范围\(\alpha\in\left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}\right)\) 时 \(2\alpha+\dfrac{\pi}{4}\in\left(-\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right)\)，正弦值在 \(\alpha=\dfrac{\pi}{8}\) 处取到 1。最大值为 \(\dfrac12+\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{1+\sqrt2}{2}\)，选 A。

答案：A，最大值为 \(\dfrac{1+\sqrt2}{2}\)。

回头检验：\(\alpha=\dfrac{\pi}{8}\) 时圆心到割线的距离 \(\sqrt2\sin\dfrac{\pi}{8}\approx0.54<1\)，割线确实交圆于两点；代回 \(\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha\approx0.8536+0.3536=1.2072\)，与 \(\dfrac{1+\sqrt2}{2}\approx1.2071\) 只差末位的舍入。

容易错在：把夹角当成只能取正值，漏掉割线在 \(PO\) 另一侧的情形；或者忘了割线要和圆交于两点，取最大值前不检查 \(\alpha=\dfrac{\pi}{8}\) 在不在允许范围内。

• 要求三个投影的平方和的最小值。\(x,y,z\) 能各自随便取值吗？它们之间有什么联系？
• \(\vec a\cdot\vec b=0\) 说明可以沿 \(\vec a,\vec b\) 的方向建立直角坐标系，这时 \(x,y\) 正好是 \(\vec d\) 的坐标；\((\vec a-\vec b)\cdot\vec c=0\) 定下了 \(\vec c\) 的方向。
• 把 \(z\) 用 \(x,y\) 表示，得到 \(x,y,z\) 的一次方程。把 \((x,y,z)\) 看成空间中的点，它在一个平面上，平方和就是它到原点距离的平方，用点到平面的距离。

1. 建系取 \(\vec a=(1,0)\)，\(\vec b=(0,2)\)。\(\vec c\) 与 \(\vec a-\vec b=(1,-2)\) 垂直，它方向上的单位向量是 \(\pm\dfrac{1}{\sqrt5}(2,1)\)。取正号；取负号只让 \(z\) 变号，\(z^2\) 不变。
2. 写出一次关系\(\vec d\) 在 \(\vec a,\vec b\) 方向上的投影就是它的两个坐标，所以 \(\vec d=(x,y)\)。\(z=(\vec d-\vec a)\cdot\dfrac{1}{\sqrt5}(2,1)=\dfrac{2(x-1)+y}{\sqrt5}\)，即 \(2x+y-\sqrt5z=2\)。
3. 化成点到平面的距离在空间直角坐标系中，点 \(M(x,y,z)\) 在平面 \(2x+y-\sqrt5z-2=0\) 上。法向量 \(\boldsymbol n=(2,1,-\sqrt5)\)，\(|\boldsymbol n|=\sqrt{10}\)。取平面上一点 \(M_0(1,0,0)\)，原点到平面的距离 \(h=\dfrac{|\overrightarrow{OM_0}\cdot\boldsymbol n|}{|\boldsymbol n|}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}\)。所以 \(x^2+y^2+z^2=|OM|^2\ge h^2=\dfrac25\)。
4. 说明取得到当 \(\overrightarrow{OM}\) 与 \(\boldsymbol n\) 同向，即 \(M=\dfrac15\boldsymbol n=\left(\dfrac25,\dfrac15,-\dfrac{\sqrt5}{5}\right)\) 时取等。这时 \(\vec d=\left(\dfrac25,\dfrac15\right)\)，确实存在。最小值为 \(\dfrac25\)。

答案：\(\dfrac25\)

回头检验：取 \(\vec d=\left(\dfrac25,\dfrac15\right)\)：\(\vec d-\vec a=\left(-\dfrac35,\dfrac15\right)\)，在 \(\vec c\) 方向上的投影 \(z=\dfrac{-\frac65+\frac15}{\sqrt5}=-\dfrac{\sqrt5}{5}\)，平方和 \(\dfrac{4}{25}+\dfrac{1}{25}+\dfrac{5}{25}=\dfrac25\)。

容易错在：把投影当成投影向量的长度而丢掉正负号，或者把 \(z\) 当成与 \(x,y\) 无关的量，误以为三者能同时为 0。

• 四个选项各固定了 \(\lambda\) 或 \(\mu\) 中的一个。固定之后，点 \(P\) 在哪里运动？
• \(\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}\)，两个参数都在 \([0,1]\) 内，说明 \(P\) 在侧面 \(BCC_1B_1\) 上；\(\mu=1\) 时它在一条棱上，这条棱和平面 \(A_1BC\) 是什么关系？
• 以 \(B\) 为原点、\(BC\) 为 \(x\) 轴、\(BB_1\) 为 \(z\) 轴建系，\(P=(\lambda,0,\mu)\)。周长、体积看是否随参数变；垂直条件写成数量积为 0 的方程，数一数在 \([0,1]\) 里有几个解。

1. 建系取 \(B(0,0,0)\)，\(C(1,0,0)\)，\(A\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2},0\right)\)，\(B_1(0,0,1)\)，\(A_1\left(\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}{2},1\right)\)，则 \(P(\lambda,0,\mu)\)。
2. 判断 A\(\lambda=1\) 时 \(P(1,0,\mu)\) 在棱 \(CC_1\) 上。\(|AB_1|=\sqrt2\)，\(|AP|=\sqrt{1+\mu^2}\)，\(|B_1P|=\sqrt{1+(1-\mu)^2}\)。\(\mu=0\) 时周长为 \(2\sqrt2+1\)，\(\mu=\dfrac12\) 时为 \(\sqrt2+\sqrt5\)，不相等，A 错误。
3. 判断 B\(\mu=1\) 时 \(P\) 在棱 \(B_1C_1\) 上。\(B_1C_1\parallel BC\)，\(BC\subset\) 平面 \(A_1BC\)，\(B_1C_1\) 不在这个平面内，所以 \(B_1C_1\parallel\) 平面 \(A_1BC\)，\(P\) 到平面的距离不变。底面 \(\triangle A_1BC\) 也不变，体积为定值，B 正确。
4. 判断 C\(\lambda=\dfrac12\) 时 \(P\left(\dfrac12,0,\mu\right)\)，\(\overrightarrow{A_1P}=\left(0,-\dfrac{\sqrt3}{2},\mu-1\right)\)，\(\overrightarrow{BP}=\left(\dfrac12,0,\mu\right)\)。\(\overrightarrow{A_1P}\cdot\overrightarrow{BP}=\mu(\mu-1)=0\)，得 \(\mu=0\) 或 \(\mu=1\)，有两个点，C 错误。
5. 判断 D\(\overrightarrow{A_1B}=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2},-1\right)\)，\(\overrightarrow{AB_1}=\left(-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2},1\right)\)，数量积 \(\dfrac14+\dfrac34-1=0\)，所以 \(A_1B\perp AB_1\) 总成立。\(\mu=\dfrac12\) 时 \(\overrightarrow{AP}=\left(\lambda-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac12\right)\)，\(A_1B\perp\) 平面 \(AB_1P\) 还要 \(\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AP}=\dfrac12-\dfrac{\lambda}{2}=0\)，只有 \(\lambda=1\)。这时 \(\overrightarrow{AB_1}\) 与 \(\overrightarrow{AP}\) 不共线，平面确定，D 正确。选 BD。

答案：BD

回头检验：C 中的两个点 \(\left(\dfrac12,0,0\right)\)、\(\left(\dfrac12,0,1\right)\) 分别是 \(BC\)、\(B_1C_1\) 的中点，代回数量积都为 0；D 中 \(\lambda=1,\mu=\dfrac12\) 时 \(P\) 是 \(CC_1\) 的中点，\(\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AP}=\dfrac14+\dfrac34-\dfrac12-\dfrac12=0\)。

容易错在：判断有且仅有一个点时，解出一个就停，漏了端点上的解；判断线面垂直时只验了平面里的一条直线。

• 先由底面三条相等的边确定等腰梯形的高；不能直接把梯形的两腰当作坐标轴。
• 证明垂直可检验方向向量点积；线面角的正弦用直线方向向量与平面法向量求。

1. 建系并确定底面以 \(D\) 为原点，\(DC\) 为 \(x\) 轴正向，底面为 \(xy\) 平面。等腰梯形两底长分别为 2、1，两腰长为 1，故高为 \(\sqrt3/2\)。可取 \(D(0,0,0)\)，\(C(1,0,0)\)，\(A(-1/2,\sqrt3/2,0)\)，\(B(3/2,\sqrt3/2,0)\)，\(P(0,0,\sqrt3)\)。
2. （1）计算点积\(\overrightarrow{DB}=(3/2,\sqrt3/2,0)\)，\(\overrightarrow{AP}=(1/2,-\sqrt3/2,\sqrt3)\)，点积为 \(3/4-3/4=0\)，所以 \(BD\perp PA\)。
3. （2）找平面法向量\(\overrightarrow{AB}=(2,0,0)\)。向量 \(\boldsymbol n=(0,2,1)\) 与 \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AP}\) 都垂直，且这两个面内向量不共线，故它是平面 \(PAB\) 的法向量。
4. （2）由法向量求正弦\(PD\) 的单位方向向量可取 \(\boldsymbol e=(0,0,1)\)。若线面角为 \(\theta\)，则 \(\sin\theta=|\boldsymbol e\cdot\boldsymbol n|/|\boldsymbol n|=1/\sqrt5=\sqrt5/5\)。

答案：（1）\(BD\perp PA\)；（2）正弦值为 \(\sqrt5/5\)。

回头检验：平面 \(PAB\) 的方程为 \(2y+z=\sqrt3\)，\(P,A,B\) 均满足；\(PD\) 沿竖直方向，与法向量的夹角余弦为 \(1/\sqrt5\)。

容易错在：正交坐标轴必须有垂直依据；线面角的正弦对应法向量夹角余弦，不能再取一次余角。

本题用到的方法：空间坐标建系、向量点积与法向量

• 先把正方形放在 \(xy\) 平面；距离平方相减会消去三项平方。
• 二面角 \(B-QD-A\) 要取指向 \(B,A\) 所在半平面的垂棱向量，不能只凭法向量点积的正负。

1. （1）由距离找高取 \(A(0,0,0)\)，\(D(2,0,0)\)，\(B(0,2,0)\)，\(C(2,2,0)\)，设 \(Q(x,y,z)\)。由 \(QA^2=QD^2=5\) 得 \(x=1\)；由 \(QC^2-QD^2=9-5=4\) 得 \(-4y+4=4\)，故 \(y=0\)。进而 \(z^2=4\)，选取朝向 \(Q\) 的 \(z\) 轴，令 \(Q(1,0,2)\)。
2. （1）证明面面垂直\(QAD\) 是平面 \(y=0\)，它包含竖直直线 \(QH\)，其中 \(H(1,0,0)\)。\(QH\perp\) 平面 \(ABCD\)，所以平面 \(QAD\perp\) 平面 \(ABCD\)。
3. （2）作垂直于棱的两个方向取棱方向 \(\boldsymbol e=\overrightarrow{DQ}=(-1,0,2)\)。从 \(\overrightarrow{DA}=(-2,0,0)\)、\(\overrightarrow{DB}=(-2,2,0)\) 中各减去沿 \(\boldsymbol e\) 的投影，得 \(\boldsymbol u=(-8/5,0,-4/5)\)、\(\boldsymbol v=(-8/5,2,-4/5)\)。两者都垂直于棱，且分别指向 \(A,B\) 所在半平面。
4. （2）计算实际二面角\(\boldsymbol u\cdot\boldsymbol v=16/5\)，\(|\boldsymbol u|^2=16/5,|\boldsymbol v|^2=36/5\)。所以二面角平面角的余弦为 \(\frac{16/5}{(4/\sqrt5)(6/\sqrt5)}=2/3\)。

答案：（1）两平面垂直；（2）二面角平面角的余弦值为 \(2/3\)。

回头检验：\(Q(1,0,2)\) 到 \(A,D,C\) 的距离平方依次是 5、5、9。垂棱向量的点积为正，所求为锐二面角，其余弦应为正。

容易错在：距离差求出的只是投影坐标，还要检查高度非零；指定半平面的二面角不能直接用任意两条法向量的夹角代替。

本题用到的方法：空间坐标建系、向量点积与法向量

• 用第三项分别表示第二、四项，先解公比；题设对公比的限制要保留。
• 第（2）问先写出各乘积，把交错符号并入公比。

1. （1）用中间项求公比设公比为 \(q>1\)。由 \(a_3=8\)，得 \(a_2=8/q,a_4=8q\)，故 \(q+1/q=5/2\)，即 \((2q-1)(q-2)=0\)。排除 \(q=1/2\)，得 \(q=2\)。
2. （1）还原通项首项 \(a_1=8/2^2=2\)，所以 \(a_n=2^n\)，其中 \(n\in\mathbb N^*\)。
3. （2）把符号并入公比第 \(k\) 个加数为 \((-1)^{k-1}a_ka_{k+1}=8(-4)^{k-1}\)。这是首项为 8、公比为 −4 的等比数列，前 \(n\) 项和为 \(8[1-(-4)^n]/5\)。

答案：（1）\(a_n=2^n\)；（2）\(\dfrac{8[1-(-4)^n]}5\)。

回头检验：原条件：\(a_2+a_4=4+16=20,a_3=8\)。和式在 \(n=1,2\) 时为 \(8,-24\)，与直接相加一致。

容易错在：交错符号已经进入公比，求和公式不能再额外乘一次符号。

本题用到的方法：裂项求和、等差等比递推

• 先把原式乘以 \(n\)，再写 \(n+1\) 时的式子相减。
• 设首项求出通项后，用等比中项关系确定首项；最值的下标必须是正整数。

1. （1）相邻两式相减原式为 \(2S_n=2na_n-n(n-1)\)。将 \(n\) 换成 \(n+1\)，利用 \(S_{n+1}-S_n=a_{n+1}\) 相减，得到 \(n(a_{n+1}-a_n)=n\)。因 \(n\ge1\)，公差为 1。
2. （2）定出首项设 \(a_1=A\)，则 \(a_4=A+3,a_7=A+6,a_9=A+8\)。等比条件给 \((A+6)^2=(A+3)(A+8)\)，解得 \(A=-12\)，所以 \(a_n=n-13\)。所得三项 \(-9,-6,-4\) 确成等比数列。
3. （2）在正整数上取最小值\(S_n=n(n-25)/2=[(n-12)(n-13)-156]/2\)。对正整数 \(n\)，\((n-12)(n-13)\ge0\)，且恰在 \(n=12,13\) 为零。因此最小值为 \(-78\)，在这两个下标处都能取到。

答案：（1）公差为 1 的等差数列；（2）最小值 \(-78\)，在 \(n=12\) 和 \(n=13\) 取得。

回头检验：\(a_{12}=-1,a_{13}=0,a_{14}=1\)，所以 \(S_{12}=S_{13}=-78\)，随后增大。原式在 \(n=1\) 不限制首项，与推导一致。

容易错在：连续二次函数的顶点是半整数，不能直接把连续最小值当作数列的最小值；零项使相邻两项和相等。

本题用到的方法：裂项求和、等差等比递推