培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录选择性必修第三册 · 第 7 章 随机变量及其分布
7.1 条件概率与全概率公式
知道了一点消息，概率就要重新算：只在“已经发生的那部分”里看。再把几种情况的概率按比重加起来，就能算出一件事的总概率。
一个兴趣小组有 \(50\) 人：男生 \(20\) 人，女生 \(30\) 人。会游泳的男生 \(15\) 人，会游泳的女生 \(18\) 人。先根据题目数据作答，再操作图示核对。
| 会游泳 | 不会游泳 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 男生 | 15 | 5 | 20 |
| 女生 | 18 | 12 | 30 |
从小组里随机叫一个人，已知叫到的是男生，他会游泳的概率是多少？
B。已经知道是男生，那就只在 \(20\) 个男生里看，其中 \(15\) 个会游泳，概率 \(\dfrac{15}{20}=\dfrac34\)。
另外几个数也有意思：\(\dfrac{15}{50}\) 是“是男生并且会游泳”的概率；\(\dfrac{15}{33}\) 是反过来“已知会游泳，是男生”的概率；\(\dfrac{33}{50}\) 是不管男女、会游泳的概率。四个数四个意思。
“已知……”让我们只看样本空间的一部分，这就是这一节的条件概率。
1. 先认识几个词
要用到：必修二 10.1 概率与事件（回看 10.1）；10.2 互斥事件与加法公式（回看 10.2）。条件概率是信息更新后样本空间的收缩。
课本用词：条件概率要求条件事件概率大于 0；全概率公式的事件组必须两两互斥且覆盖样本空间，各条件事件概率须大于 0。乘法公式始终保留条件概率；只有独立时，才能把条件概率换成原概率。
条件概率 \(P(B|A)\)（缩小的样本空间）：在“事件 \(A\) 已经发生”的既定前提下，事件 \(B\) 发生的概率，读作“在 \(A\) 条件下 \(B\) 的条件概率”。
为什么分母会变：一旦已知 \(A\) 发生，不在 \(A\) 里的所有可能结果全部被排除！整个样本空间从全局 \(\Omega\) 瞬间缩小为 \(A\)。在新世界 \(A\) 里，只有 \(AB\) 这部分对 \(B\) 有贡献，因此：
$$P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}$$
要求 \(P(A)>0\)。只有在有限、等可能的样本空间中，才能进一步写成 \(n(AB)/n(A)\)。
联合概率 \(P(AB)\) 与乘法公式：在全局样本空间中事件 \(A\) 与 \(B\) 同时发生的概率。两者的桥梁是乘法公式：
$$P(AB) = P(A) \cdot P(B|A) = P(B) \cdot P(A|B)$$
第一种写法要求 \(P(A)>0\)，第二种要求 \(P(B)>0\)；同时写出这条等式链时，两者都须大于 0。若 \(A\) 或 \(B\) 是零概率事件，则 \(P(AB)=0\)，不要给无定义的条件概率乘以 0。
完备事件群（划分）与全概率公式：若事件 \(A_1, A_2, \dots, A_n\) 两两互斥且它们的并不漏掉任何可能（\(\bigcup A_i = \Omega\)），就像把样本空间切成一块块拼图。任何事件 \(B\) 都可以被这组拼图分割，化整为零：
$$P(B) = \sum_{i=1}^n P(A_i) P(B|A_i)$$
参照基准：以已知条件 \(A\) 为全集（分母为 \(P(A)\) 或 \(n(A)\)）。
提问方式：“已知甲先中奖，乙再中奖的概率是多少？”
算式形态：\(P(B|A) = \dfrac{P(AB)}{P(A)}\)
参照基准：以最初的大样本空间 \(\Omega\) 为全集（分母为 \(1\) 或 \(n(\Omega)\)）。
提问方式：“甲和乙两个人都中奖的概率是多少？”
算式形态：\(P(AB) = P(A) \cdot P(B|A)\)
2. 条件概率、乘法与全概率公式
本节核心公式：
条件概率定义：\(P(B|A) = \color{#1976d2}{\dfrac{P(AB)}{P(A)}}\quad (\color{#1976d2}{\text{分母换成新世界 } A})\)，要求 \(P(A)>0\)。有限等可能时可用个数比 \(n(AB)/n(A)\)。
乘法公式：\(P(AB) = \color{#1976d2}{P(A)} \cdot \color{#2e7d32}{P(B|A)}\)
全概率公式（化整为零）：\(P(B) = \sum_{i=1}^n \color{#1976d2}{P(A_i)} \cdot \color{#2e7d32}{P(B|A_i)}\quad (\text{划分 } A_1,\dots,A_n \text{ 互斥且穷尽})\)
已知结果反查来源：先用定义 \(P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k\cap B)}{P(B)}\)，要求 \(P(B)>0\)；分子用乘法公式，分母用全概率公式。具体后验题可以这样逐步求解，不必先背一般贝叶斯公式。
选学（可跳过）：贝叶斯一般公式
一般贝叶斯公式是教材带星号的选学内容，不作为本节必背或考试要求；条件概率定义、乘法公式和全概率公式仍是本节核心。
当 \(A_1,\ldots,A_n\) 两两互斥、并为全集，各 \(P(A_i)>0\) 时，贝叶斯公式（由果溯因）：\[P(A_k|B)=\dfrac{P(A_k)P(B|A_k)}{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}.\]要求 \(P(B)>0\)，即分母的全概率之和大于 0；若 \(P(B)=0\)，该条件概率没有定义。
自己试试：掷一颗均匀的骰子，已知点数大于 \(2\)，点数是偶数的概率是？
A。已知大于 \(2\)，只剩 \(\{3,4,5,6\}\)，其中偶数 \(4,6\)，概率 \(\dfrac24=\dfrac12\)。选 B 的同学用了 \(\dfrac26\)，那是“大于 \(2\) 并且是偶数”的概率，分母没换成 \(4\)。
自己试试：\(10\) 张奖券里有 \(2\) 张中奖。甲先抽一张，乙再抽一张（不放回）。两人都中奖的概率是？
A。\(\dfrac2{10}\times\dfrac19=\dfrac1{45}\)：甲中奖后只剩 \(9\) 张、其中 \(1\) 张中奖。选 B 的同学算成 \(\dfrac2{10}\times\dfrac2{10}\)，那是抽完放回去的情形。
3. 三步破题思维链例题
典型例题：某工厂甲、乙两车间生产同一种产品。甲车间产量占全厂的 \(60\%\)，次品率为 \(2\%\)；乙车间产量占 \(40\%\)，次品率为 \(1\%\)。
① 从全厂产品中任取一件，求它是次品的概率；
② 若已知取出的这一件是次品，求它是由甲车间生产的概率。
② 已有各组比例和结果概率 → 想到先用全概率合成结果，再用条件概率定义反推来源。
$$P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = 0.6 \times 0.02 + 0.4 \times 0.01 = 0.012 + 0.004 = 0.016$$ • ② 用条件概率定义求 \(P(A_1|B)\)：
$$P(A_1|B) = \dfrac{P(A_1 B)}{P(B)} = \dfrac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} = \dfrac{0.012}{0.016} = \dfrac{3}{4} = 0.75$$
自己试试：回到例 2 的盒子（\(3\) 红 \(2\) 白，不放回摸两次）。第二次摸到红球的概率是？
C。按第一次的颜色分两种情况：\(\dfrac35\times\dfrac24+\dfrac25\times\dfrac34=\dfrac6{20}+\dfrac6{20}=\dfrac35\)，和第一次一样。选 A 的同学只算了“第一次红”那一块，漏了“第一次白、第二次红”。
4. 三大翻车现场红绿对比卡
❌ 翻车：投掷骰子，已知点数大于 2，求是偶数的概率。直接写 \(2/6 = 1/3\)。
✔ 自查：条件概率分母必须换成新世界！先列出满足“点数大于 2”的所有等可能结果，再从中圈出偶数。新的分母和分子各是多少？请自行约分。\(2/6\) 算的是“点数既大于 2 又是偶数”的联合概率 \(P(AB)\)，没有把已知条件用到分母中。
❌ 翻车：某疾病检出率为 99%（真病人呈阳性概率 \(P(+|D) = 0.99\)），便误以为“某人体检呈阳性，他有病的概率 \(P(D|+)\) 也是 99%”。
✔ 正确：不能把两个条件概率互换，还必须知道患病率和健康人的假阳性率。例如患病率为 \(0.1\%\)、病人阳性率为 \(99\%\)、健康人假阳性率为 \(1\%\)：十万人中约有真阳性 \(99\) 人、假阳性 \(999\) 人，故 \(P(D|+)=\dfrac{99}{99+999}\approx9.02\%\)。这是这组完整参数的结果；若假阳性率为 \(0\)，后验可为 \(1\)。只给检出率和患病率，不能确定阳性者的患病概率。
❌ 翻车：不放回摸球，算第二次摸出红球的概率，只算“第一次摸红、第二次摸红”的概率，漏掉“第一次摸白、第二次摸红”。
✔ 正确：全概率公式必须做到不重不漏穷尽全集！第一次摸球的结果只有红和白两种，必须把两支全部加起来：\(P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2)\)。抽签、摸奖中，不论第几个抽，中奖概率完全均等！
① 面积图：整块面积是 \(1\)
左列是 \(A\)，宽 \(=P(A)\)；右列是 \(\overline A\)。每列里涂色的高度是这一列里 \(B\) 的比例：左列 \(P(B\mid A)\)，右列 \(P(B\mid\overline A)\)。涂色的面积就是 \(P(A\cap B)\)、\(P(\overline A\cap B)\)。拖三个圆点（或选中后按方向键），也可以用下面的滑块。点“已知 A”“已知 B”看样本空间怎么缩小。
② 进阶：检测结果是阳性，真得病的可能有多大
\(1000\) 个人，每个点是一个人。设 \(D=\)“得病”，\(T=\)“检测阳性”。调三个数：得病的比例 \(P(D)\)、病人测出阳性的比例 \(P(T\mid D)\)、没病的人误报阳性的比例 \(P(T\mid\overline D)\)。看阳性的人里，真得病的占多少，也就是 \(P(D\mid T)\)。
得病、阳性得病、阴性没病、阳性（误报）没病、阴性
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. 已知 \(P(A)=0.6\)，\(P(A\cap B)=0.15\)，那么 \(P(B\mid A)=\)？
A。\(P(B\mid A)=\dfrac{0.15}{0.6}=0.25\)。选 B 的同学把两数乘起来了；条件概率是“除以条件的概率”。
2. 小明早上遇到下雨的概率是 \(0.3\)。下雨时他迟到的概率是 \(0.2\)，不下雨时是 \(0.05\)。某天他迟到的概率是？
A。“下雨”“不下雨”是划分：\(0.3\times0.2+0.7\times0.05=0.06+0.035=0.095\)。选 C 是把 \(0.2\) 和 \(0.05\) 直接平均，没按 \(0.3\)、\(0.7\) 的比重；选 D 漏了不下雨那一块。
易错
3. 一批产品的合格率是 \(90\%\)，合格品中一等品占 \(60\%\)（一等品都是合格品）。随机抽一件，是一等品的概率是？
B。\(60\%\) 是“在合格的条件下是一等品”，即 \(P(B\mid A)=0.6\)；题目问的是在全部产品里看，一等品就是“合格且一等”：\(P(A\cap B)=0.9\times0.6=0.54\)。选 A 把“在……条件下”当成了“且”。
4. 一个班 \(50\) 人，身高超过 \(175\) 厘米的有 \(20\) 人；校篮球队的 \(10\) 名本班队员个个都超过 \(175\) 厘米。从班里随机选一人，已知他身高超过 \(175\) 厘米，他是篮球队员的概率是？
B。已知“高”，分母是 \(20\) 个高个子，其中篮球队员 \(10\) 人：\(\dfrac{10}{20}=\dfrac12\)。\(1\) 是反过来的 \(P(\text{高}\mid\text{篮球队员})\)：队员一定高，高的不一定是队员。\(P(B\mid A)\) 和 \(P(A\mid B)\) 分母不同，不能互换。
5. 同时掷两枚均匀硬币，已知至少有一枚正面朝上，两枚都正面朝上的概率是？
C。等可能的结果是“正正、正反、反正、反反”。已知至少一枚正面，剩“正正、正反、反正”三个，等可能，其中两枚都正面的 \(1\) 个：\(\dfrac13\)。选 A 的同学数的是“一枚正面”“两枚正面”两种情况，可这两种不是等可能的（前者 \(\dfrac12\)，后者 \(\dfrac14\)），不能直接数个数。用定义核对：\(\dfrac{1/4}{3/4}=\dfrac13\)。
挑战
6. 甲袋有 \(2\) 红 \(2\) 白，乙袋有 \(1\) 红 \(3\) 白。先从甲袋随机取一个球放进乙袋，再从乙袋随机取一个球。这个球是红球的概率是？
B。按“从甲袋取出的颜色”划分，两块各占 \(\dfrac12\)：
取出红：乙袋变成 \(2\) 红 \(3\) 白，再取红的概率 \(\dfrac25\)；取出白：乙袋变成 \(1\) 红 \(4\) 白，概率 \(\dfrac15\)。
\(P=\dfrac12\times\dfrac25+\dfrac12\times\dfrac15=\dfrac15+\dfrac1{10}=\dfrac3{10}\)。选 A 是忘了乙袋多了一个球；选 C 是把两种情况的概率直接相加，没乘各自的权重 \(\dfrac12\)。
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一试延伸
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