10.2 事件的相互独立性

A。\(12\) 种结果里，只有“正，\(6\)”这一种符合，概率 \(\dfrac1{12}\)。

再看：硬币正面的概率是 \(\dfrac12\)，骰子掷出 \(6\) 的概率是 \(\dfrac16\)，而 \(\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}\)，正好是两个概率相乘。

硬币怎么落，不影响骰子怎么落，所以能乘。这一节就讲：什么样的两个事件能这样相乘（叫“相互独立”），怎么判断，以及它和“互斥”有什么不同。

B。\(B=\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}\)，只有 \(5\) 格，\(P(B)=\dfrac5{36}\)；\(AB=\{(2,6),(4,4),(6,2)\}\)，\(P(AB)=\dfrac3{36}=\dfrac1{12}\)。而 \(P(A)P(B)=\dfrac12\times \dfrac5{36}=\dfrac5{72}\)，\(\dfrac1{12}=\dfrac6{72}\ne\dfrac5{72}\)，不独立。和为 \(7\) 独立，不等于和为 \(8\) 也独立；常见的错是照例 1 类推，或者把和为 \(8\) 也数成 \(6\) 格。

B。对立事件是“两个都不正常”，概率 \((1-0.9)\times (1-0.7)=0.1\times 0.3=0.03\)，所以至少一个正常是 \(1-0.03=0.97\)。选 A 的同学算的是“两个都正常”；选 C 的同学以为是 \(0.9\) 加上剩下的部分，没走乘法。

A。两颗骰子各掷各的，\(A\) 只看第一颗、\(B\) 只看第二颗，独立。\(P(A)=\dfrac26=\dfrac13\)，\(P(B)=\dfrac16\)，\(P(AB)=\dfrac13\times\dfrac16=\dfrac1{18}\)。数格子也一样：\((1,6),(2,6)\) 两格，\(\dfrac2{36}=\dfrac1{18}\)。B 是把两个概率加起来了；D 是只数了一格。

B。“甲过乙不过”\(0.7\times0.5=0.35\)，“甲不过乙过”\(0.3\times0.5=0.15\)，两种互斥，相加得 \(0.5\)。A 只算了一种（也是“都及格”的概率）；C 是“至少一人及格”\(1-0.3\times0.5=0.85\)；D 直接相加，超过了 \(1\)。

B。没有公共点数，互斥，\(P(AB)=0\)；但 \(P(A)P(B)=\dfrac13\times\dfrac13=\dfrac19\ne0\)，不独立。选 A 是把“互斥”当成了“互不影响”：其实 \(A\) 一发生，\(B\) 就一定不发生，影响最大。两个概率都正的事件，互斥就一定不独立。

A。\(P(A)=\dfrac12\)，\(P(B)=\dfrac46=\dfrac23\)，\(AB=\{2,4\}\)，\(P(AB)=\dfrac26=\dfrac13\)，而 \(\dfrac12\times\dfrac23=\dfrac13\)，相等，独立。同一次试验里的两个事件也能谈独立，标准只有 \(P(AB)=P(A)P(B)\)。凭感觉选 B 的同学可以对比：把 \(B\) 换成“点数 \(\le3\)”，\(P(AB)=\dfrac16\ne\dfrac14\)，才不独立。

B。按顺序数：甲有 \(10\) 种抽法，乙有 \(9\) 种，共 \(90\) 种。两人都中奖：甲 \(2\) 种、乙只剩 \(1\) 种，\(2\) 种，概率 \(\dfrac2{90}=\dfrac1{45}\)。

A 是 \(\dfrac15\times\dfrac15\)：甲、乙各自中奖的概率确实都是 \(\dfrac15\)（乙中奖有 \(2\times1+8\times2=18\) 种，\(\dfrac{18}{90}=\dfrac15\)），可不放回时两件事不独立，不能相乘。放回再抽，答案才是 \(\dfrac1{25}\)。

B。三人各自破译，相互独立。都破译不了：\(\dfrac12\times\dfrac23\times\dfrac34=\dfrac14\)，所以至少一人破译：\(1-\dfrac14=\dfrac34\)。A 是三人都破译；C 是三个概率相加，超过了 \(1\)；D 是“都破译不了”，忘了用 \(1\) 去减。