选择性必修第三册 · 第 7 章随机变量及其分布

7.3 离散型随机变量的数字特征

分布列把一个随机变量的情况全列出来了，可表太长时，我们想用一两个数说清楚：平均能得多少？结果稳不稳？这就是均值和方差。

小店门口有个十等分抽奖转盘：转一次，有 $\dfrac1{10}$ 的机会得 $10$ 元，$\dfrac3{10}$ 的机会得 $2$ 元，其余 $\dfrac6{10}$ 什么也没有。先根据题目数据作答，再操作图示核对。

转 $100$ 次，大约 $10$ 次得 $10$ 元、$30$ 次得 $2$ 元、$60$ 次没得。这 $100$ 次一共大约得多少元？

1. 先认识几个词

要用到：7.2 分布列与概率性质（回看 7.2）；必修二 9.2 样本均值与方差（回看 9.2）。期望与方差是用两个核心数刻画随机变量全貌的指标。

课本用词：期望可线性变换；方差对加常数不变、对乘常数平方缩放，标准差是方差开平方，单位与原变量一致。

数学期望 $E(X)$（概率加权平均值 / 物理重心）：随机变量 $X$ 的所有可能取值与其对应概率乘积的总和，记作 $E(X)$ 或 $\mu$：

$$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n$$

直觉：就像杠杆原理，每个取值 $x_i$ 是秤杆上的刻度，概率 $p_i$ 是挂在该位置的重物，期望 $E(X)$ 正好就是让杠杆保持绝对平衡的支点位置！

方差 $D(X)$ 与标准差 $\sigma(X)$（偏离中心的波动与风险）：各可能取值偏离均值的平方的概率加权平均值，记作 $D(X)$ 或 $\operatorname{Var}(X)$：

$$D(X) = \sum_{i=1}^n (x_i - E(X))^2 p_i = E(X^2) - [E(X)]^2$$

标准差 $\sigma(X) = \sqrt{D(X)}$ 是方差的算术平方根（与 $X$ 具有相同量纲单位）。方差越大，说明数据分布越分散、波动越剧烈、风险越高。

线性变换法则（平移与放缩）：若 $Y = aX + b$（$a, b$ 为常数）：

• 期望：$E(aX + b) = aE(X) + b$（均值随之同比例拉伸并平移）；
• 方差：$D(aX + b) = a^2 D(X)$（常数 $b$ 整体平移不改变离散离度，倍数 $a$ 平方放大）；
• 标准差：$\sigma(aX + b) = |a|\sigma(X)$（恒为非负）。

数字特征直觉微图解：杠杆支点期望、方差波动度量与线性变换

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数学期望 $E(X)$ 中心位置

度量对象：随机变量的加权中心平均水平（重心）。

公式：$E(X) = \sum x_i p_i$。

运算：$E(aX+b) = aE(X)+b$（线性平移放缩）。

方差 $D(X)$ 与标准差 $\sigma$ 离散程度

度量对象：数据偏离重心的离散波动程度（风险）。

公式：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$。

运算：$D(aX+b) = a^2 D(X)$（常数 $b$ 平移彻底消失）。

2. 期望与方差主公式与两点分布特征

核心公式与特殊分布：

数学期望：$E(X) = \sum_{i=1}^n \color{#1976d2}{x_i} \cdot \color{#2e7d32}{p_i}$

方差快捷算法：$D(X) = \color{#d97706}{E(X^2)} - [\color{#ef4444}{E(X)}]^2 = \sum \color{#1976d2}{x_i^2}\color{#2e7d32}{p_i} - \mu^2$

线性性质：$E(aX+b) = aE(X)+b,\quad D(aX+b) = \color{#ef4444}{a^2} D(X),\quad \sigma(aX+b) = \color{#ef4444}{|a|}\sigma(X)$

两点分布 $X \sim B(1, p)$：$E(X) = p,\quad D(X) = p(1-p)$

自己试试：$X$ 取 $1,2,3$ 的概率分别是 $0.2,0.5,0.3$。$E(X)$ 是？

B。$1\times0.2+2\times0.5+3\times0.3=0.2+1+0.9=2.1$。选 A 的同学把 $1,2,3$ 直接平均了，等于把三个概率都当成 $\dfrac13$；可 $3$ 的概率 $0.3$ 比 $1$ 的 $0.2$ 大，均值要往 $3$ 那边偏一点。选 C 是只把取值加起来、没乘概率。

自己试试：$X$ 取 $1$ 和 $3$，概率各 $0.5$。$D(X)$ 是？

A。$E(X)=2$，两个值离 $2$ 都是 $1$，$D(X)=1^2\times0.5+1^2\times0.5=1$。或者 $E(X^2)=\dfrac{1+9}2=5$，$D(X)=5-2^2=1$。选 B 是偏离平方后忘了乘概率；选 C 是算成了 $E(X^2)-E(X)$，均值忘了平方；选 D 只算了 $E(X^2)$。

3. 三步破题思维链例题

典型例题：某投资人有两种投资方案。方案 A 的年收益率 $X$（万元）分布列为：$P(X=-10)=0.2,\; P(X=10)=0.6,\; P(X=30)=0.2$；方案 B 的年收益率 $Y$（万元）分布列为：$P(Y=0)=0.3,\; P(Y=10)=0.4,\; P(Y=20)=0.3$。
① 计算两方案的数学期望 $E(X)$ 与 $E(Y)$；
② 计算两方案的方差 $D(X)$ 与 $D(Y)$，并给出投资决策建议。

👀 第一眼破题信号： ① 看到随机变量取值和分布列，要求平均水平或波动大小 → 想到数字特征定义。
② 要求期望和方差 → 想到先算加权和 $E(X)$，再用 $E(X^2)-[E(X)]^2$ 或定义求方差。

🔧 第二步求出数字特征数值：

• ① 计算期望：
$E(X) = (-10)\times0.2 + 10\times0.6 + 30\times0.2 = -2 + 6 + 6 = 10\text{ 万元}$；
$E(Y) = 0\times0.3 + 10\times0.4 + 20\times0.3 = 0 + 4 + 6 = 10\text{ 万元}$。
两方案期望相同，说明长期平均收益完全一致。
• ② 计算方差：
$D(X) = (-10-10)^2\times0.2 + (10-10)^2\times0.6 + (30-10)^2\times0.2 = 400\times0.2 + 0 + 400\times0.2 = 160$；
$D(Y) = (0-10)^2\times0.3 + (10-10)^2\times0.4 + (20-10)^2\times0.3 = 100\times0.3 + 0 + 100\times0.3 = 60$。

🛡️ 第三步双维度综合决策与防坑核查：两方案期望收益均为 10 万元；但 $D(X) = 160 > D(Y) = 60$，说明方案 A 波动剧烈、可能面临亏损（-10 万元），风险极高；方案 B 波动小、不亏损、平稳度高。稳健型投资者应选择方案 B。防坑：切勿只比期望大小，高考大题常考期望相同时比方差！

自己试试：$E(X)=3$，$D(X)=4$，$Y=-2X+1$。$\sigma(Y)$ 是？

B。$\sigma(X)=\sqrt4=2$，$\sigma(Y)=|-2|\times2=4$；或 $D(Y)=(-2)^2\times4=16$，开方得 $4$。选 A 把 $-2$ 直接乘上去了，可标准差是非负平方根，不会是负数。C 是 $D(Y)$，还没开方。D 是把 $E$ 的公式套到了 $D$ 上：$-2\times4+1$。

4. 三大翻车现场红绿对比卡

翻车现场 1：把数学期望当成各取值的“算术平均数”，直接相加除以 $n$

❌ 翻车：$X$ 取 1, 2, 3，概率分别为 0.2, 0.5, 0.3，直接算 $(1+2+3)/3 = 2$。

✔ 自查：数学期望是按概率加权的平均数！请把每个取值与它的概率相乘，再将乘积相加。这里的三个概率相等吗，能否直接套用等权平均？各取值等可能时可以直接求算术平均；概率不相等时仍应按分布列计算。

翻车现场 2：线性变换算方差时常数项 $b$ 盲目带入或漏平方

❌ 翻车：已知 $D(X) = 4$，求 $D(3X - 5)$ 时写成 $3\times4 - 5 = 7$ 或 $3\times4 = 12$。

✔ 正确：平移不改变离散离度，常数 $b$ 彻底清零！倍数 $a$ 必须平方！由方差定义，$D(aX+b) = a^2 D(X)$，故 $D(3X-5) = 3^2 \times 4 = 36$！常数 -5 毫无影响。

翻车现场 3：标准差写出负数（符号运算大意）

❌ 翻车：$\sigma(X) = 2$，算 $\sigma(-3X + 2)$ 时直接写成 $-3\times2 = -6$。

✔ 正确：标准差作为算术平方根，恒为非负数！线性公式是 $\sigma(aX+b) = |a|\sigma(X)$，负号必须取绝对值：$\sigma(-3X+2) = |-3|\times2 = 6$。

反例微图解：方差线性平移不变性（D(X+b) = D(X)）直觉对比

整体平移 +b 只是把整个数据群在数轴上滑动，内部各点之间的相对距离完全不变，因此方差恒定！

① 分布列跷跷板：拖柱子改概率

$X$ 取 $1,2,3,4,5$。上下拖某根柱子（或选中后按方向键）改它的概率，其余柱子按原来的比例自动让出，总和始终是 $1$。三角是支点 $E(X)$，金色带是 $E(X)\pm\sigma$。试试：把概率堆到两头，支点不动，方差却变大。

② 进阶：$Y=aX+b$，均值、方差怎么变

用的是①里现在的分布。上面一行是 $X$，下面一行是 $Y=aX+b$。动 $b$：整排柱子平移，波动带宽度不变；动 $a$：柱子拉开或挤拢，$a$ 为负时左右翻过来，方差按 $a^2$ 变。

$a$

$b$

从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。

直接用

1. $X$ 取 $-1,0,2$ 的概率分别是 $0.2,0.5,0.3$。$E(X)$ 是？

A。$(-1)\times0.2+0\times0.5+2\times0.3=-0.2+0+0.6=0.4$。选 B 是把三个取值简单平均了；选 C 是漏了 $-1$ 那一项的负号贡献。

2. $E(X)=2$，$D(X)=3$，$Y=3X-1$。$E(Y)$ 和 $D(Y)$ 分别是？

A。$E(Y)=3\times2-1=5$，$D(Y)=3^2\times3=27$。B 是 $a$ 没平方；C 是把 $-1$ 也减到了方差上，可平移不改变方差；D 是均值忘了 $-1$。

易错

3. 掷一个均匀骰子，点数为 $X$，$E(X)=3.5$。下面哪句话对？

B。均值是按概率加权的平均，说的是很多次的平均水平，它不一定是 $X$ 能取到的值。A、C 都把“均值”当成了“某一次的结果”。

4. 一张刮刮卡卖 $5$ 元：$0.03$ 的机会中 $100$ 元，$0.1$ 的机会中 $10$ 元，其余不中。买一张，净收益（奖金减去 $5$ 元）的均值是？

B。净收益可能是 $95$、$5$、$-5$ 元，概率 $0.03$、$0.1$、$0.87$：

$95\times0.03+5\times0.1+(-5)\times0.87=2.85+0.5-4.35=-1$。

也可以先算奖金均值 $100\times0.03+10\times0.1=4$，再减成本 $5$。A 忘了扣成本。C 把长期平均当成了每一次的结果：单买一张只会是 $95$、$5$ 或 $-5$，不会正好是 $-1$。

5. 两个方案的收益（万元）：甲取 $1$ 和 $3$，概率各 $0.5$；乙取 $-2$ 的概率 $0.2$、取 $3$ 的概率 $0.8$。小王的要求是“不能亏钱”。他该选？

A。均值确实都是 $2$：甲 $1\times0.5+3\times0.5=2$，乙 $-2\times0.2+3\times0.8=2$。可方差甲是 $1$，乙是 $4\times0.2+9\times0.8-2^2=4$，乙波动大，而且有 $0.2$ 的机会亏 $2$ 万。

小王的目标是不亏，甲最少也赚 $1$ 万，选甲。C 只看了均值；B 只看了最好的结果。均值一样时，要看风险和目标。

挑战

6. $E(X)=2$，$E(X^2)=5$，$Y=2X+3$。$E(Y^2)$ 是？

A。先求 $D(X)=5-2^2=1$。于是 $E(Y)=2\times2+3=7$，$D(Y)=2^2\times1=4$。再把 $D(Y)=E(Y^2)-\big(E(Y)\big)^2$ 倒过来：$E(Y^2)=4+7^2=53$。

B 是把 $E(Y^2)$ 当成了 $\big(E(Y)\big)^2$，差的正是方差。C 是把 $(2X+3)^2$ 展开成 $4X^2+9$，漏了中间项 $12X$：正确是 $4\times5+12\times2+9=53$。D 是把 $E(aX+b)$ 的公式直接套到 $X^2$ 上：$4\times5+3$。