培玉 · 高中数学← 返回主页我的记录选择性必修第三册 · 第 8 章 成对数据的统计分析
8.3 列联表与独立性检验
两件“是 / 否”类的事有没有关系？把人数填进一张四格的表，算一个数 \(\chi^2\)，再和事先定好的标准比。先从一次篮球调查开始。
年级里调查了 \(80\) 名男生、\(50\) 名女生，问“每周打不打篮球”。男生有 \(48\) 人打，女生有 \(10\) 人打。由于男女生总人数不同，需要按比例比较。先作答，再看等长的“百人比例条”核对。
按比例看，男生和女生谁更常打篮球？
A。男生 \(\dfrac{48}{80}=60\%\)，女生 \(\dfrac{10}{50}=20\%\)，差得很多。看起来“性别”和“打不打篮球”有关联。
可要是比例是 \(52\%\) 对 \(48\%\) 呢？差一点点，可能只是这次碰巧问到的人不一样。
这一节就讲：把数据整理成一张四格的表，用一个数 \(\chi^2\) 量“差得够不够多”，再和事先定好的标准比，决定能不能说“有关联”，以及这句话该怎么说才不过头。
1. 先认识几个词
要用到：事件的相互独立 \(P(AB)=P(A)P(B)\)（回看必修二 10.2）；频率和比例；成对数据、两个变量之间的关系（回看 8.1）。
课本用词：独立性检验先算期望频数，再比较统计量与临界值或 p 值；显著只表示拒绝独立假设，不直接证明因果。
分类变量：取值是几个类别，不是能加减的数。
例：“性别”取男、女；“打不打篮球”取打、不打。就算把“打”记成 \(1\)、“不打”记成 \(0\)，这两个数也只是名字。本节的两个分类变量都只取两类。
\(2\times2\) 列联表：把两个分类变量的四种组合各有多少人填进四个格子，再写上合计。
| 打 | 不打 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 男 | \(a=48\) | \(b=32\) | \(80\) |
| 女 | \(c=10\) | \(d=40\) | \(50\) |
| 合计 | \(58\) | \(72\) | \(n=130\) |
一般写法：第一行 \(a,b\)，第二行 \(c,d\)，\(n=a+b+c+d\)。
原理：将两组频数归一化为百分比（\(p_1=\frac{a}{a+b}\)，\(p_2=\frac{c}{c+d}\)），直观观察两柱分界线的高低落差。
优势与局限：一目了然，能直观展现两组是否存在倾向性差异；但无法剔除随机抽样波动的影响，小样本容易误将偶然误差当作必然规律。
原理：假定 \(H_0\)（两变量独立），量化各格子实际观察频数偏离独立理论期望的总偏离量 \(\chi^2\)。
决策机制：在近似模型适用时，若 \(\chi^2\ge x_\alpha\)，就按预先给定的 \(\alpha\) 水平拒绝 \(H_0\)，认为有统计证据表明两变量有关联。\(\alpha\) 描述 \(H_0\) 为真时这套规则的误拒风险，不是给定本次数据后结论错误的概率；统计判断不能当作演绎证明。
小概率值 \(\alpha\) 和临界值 \(x_\alpha\)：事先定一个很小的概率 \(\alpha\)，比如 \(0.05\)。临界值 \(x_\alpha\) 的意思是：如果 \(H_0\) 成立，算出来的 \(\chi^2\ge x_\alpha\) 的概率约为 \(\alpha\)。常用的五组：
| \(\alpha\) | \(0.1\) | \(0.05\) | \(0.01\) | \(0.005\) | \(0.001\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x_\alpha\) | \(2.706\) | \(3.841\) | \(6.635\) | \(7.879\) | \(10.828\) |
例：\(\alpha=0.05\) 时 \(x_\alpha=3.841\)：两个变量真的独立时，\(\chi^2\) 达到 \(3.841\) 的情形大约 \(20\) 次里只有 \(1\) 次。\(\alpha\) 越小，临界值越大，推断要求越严。
2. 先看比例：等高堆积条形图
人数多少不能直接比，两行的总人数可能不同。把每一行都换成比例，画成一样高的条，每条按比例分成两段，这叫等高堆积条形图。两条的分界线高度差不多，说明两行比例差不多；差得多，说明可能有关联。
例 1（看一遍怎么做）
问了 \(100\) 名同学“是否常吃早餐”和“上午是否犯困”：常吃早餐的 \(50\) 人中 \(15\) 人犯困，不常吃的 \(50\) 人中 \(30\) 人犯困。
常吃早餐一行：犯困比例 \(\dfrac{15}{50}=30\%\)；不常吃一行：\(\dfrac{30}{50}=60\%\)。两条的分界线一个在 \(30\%\)、一个在 \(60\%\)，差得明显，所以怀疑“吃早餐”和“犯困”有关联。到底差得够不够多，下一块用 \(\chi^2\) 判断。
自己试试：甲组 \(50\) 人中 \(30\) 人选“是”，乙组 \(30\) 人中 \(18\) 人选“是”。按比例看两组？
B。\(\dfrac{30}{50}=60\%\)，\(\dfrac{18}{30}=60\%\)，比例一样，等高条形图里两条的分界线一样高（这时 \(\chi^2=0\)）。选 A 的同学比的是人数 \(30>18\)，没看两组总人数不同。
3. 算 \(\chi^2\)
独立假设下，四格期望频数为 \(E=\text{行合计}\times\text{列合计}/n\)。例2左上格为 \(50\times45/100=22.5\)，不要求为整数；先逐格检查频数条件。
\(\chi^2\) 把“每个格子实际人数和独立时应有人数差多少”合成一个数。对 \(2\times2\) 表，它化简为核心计算公式：
• 样本总量 \(n\)：\(n = a+b+c+d\)，成正比放大样本量对统计推断的效力；
• 主对角 \(ad\) 与 副对角 \(bc\)：交叉乘积差 \(|ad-bc|\) 衡量样本表中的比例差异；若 \(ad=bc\)，则 \(\chi^2=0\)，只说明这张样本表的比例相同，不能证明总体独立；
• 分母四项边际合计乘积：行合计与列合计的连续乘积，作为标准化方差的归一基准。
例 2（算一遍，留着下块用）
把例 1 的数据写成列联表：
| 犯困 | 不犯困 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 常吃 | \(a=15\) | \(b=35\) | \(50\) |
| 不常吃 | \(c=30\) | \(d=20\) | \(50\) |
| 合计 | \(45\) | \(55\) | \(n=100\) |
代入公式：
\[ad-bc = 15\times20 - 35\times30 = 300 - 1050 = -750\]
\[\chi^2 = \dfrac{100\times(-750)^2}{50\times50\times45\times55} = \dfrac{100\times562500}{6187500} = \dfrac{56250000}{6187500} \approx 9.091\]
自己试试：\(a=20\)，\(b=30\)，\(c=30\)，\(d=20\)。\(\chi^2=\)？
A。\(n=100\)，四个合计都是 \(50\)，\(ad-bc=400-900=-500\)，\((-500)^2=250000\)。\(\chi^2=\dfrac{100\times250000}{50^4}=\dfrac{25000000}{6250000}=4\)。选 B 的同学忘了分子有平方，\(\chi^2\) 不会是负数。
4. 检验三步，结论怎么说
① 看到 \(2\times2\) 列联表、显著性水平并问是否有关联 → 想到先核对边际合计和适用条件。
② 统计量与临界值已算出 → 想到比较 \(\chi^2\) 与临界值，只说证据是否充分，不把“不能拒绝”说成证明独立。
套用 \(\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)。先算主副对角乘积差 \(ad-bc\)，平方并乘以 \(n\)；分母四项相乘，计算过程保留三位小数，防分子漏乘 \(n\) 或平方算错。
• 若 \(\chi^2\ge x_\alpha\)：在适用条件满足时，按 \(\alpha\) 水平拒绝 \(H_0\)，认为有统计证据表明两变量有关联；
• 若 \(\chi^2<x_\alpha\)：不能拒绝 \(H_0\)，作答为“没有充分证据认为两变量有关联”（严禁作答为“证明了两者完全独立”！）。
误拒风险的前提是 \(H_0\) 为真，并针对重复使用这套检验规则；不能把 \(1-\alpha\) 当成本次结论正确的概率。
例 3（实战演练）
接例 2，算得 \(\chi^2\approx9.091\)。
取 \(\alpha=0.01\)：\(9.091\ge6.635\)，在适用条件满足时按该水平拒绝 \(H_0\)，有统计证据表明“是否常吃早餐”和“上午是否犯困”有关联。这里的 \(0.01\) 是 \(H_0\) 为真时检验规则的名义误拒风险，不表示这一次结论有 \(99\%\) 的正确概率。
若事先取的是 \(\alpha=0.001\)：\(9.091<10.828\)，不能拒绝 \(H_0\)，结论是“没有充分证据认为两者有关联”。同一组数据，规则定得越严，越难下“有关联”的结论；所以 \(\alpha\) 必须事先定好，绝不能算完后再挑合心意的临界值。
自己试试：取 \(\alpha=0.05\)，算得 \(\chi^2=3.2\)。结论应该写？
B。\(3.2<3.841\)，没到临界值，不能拒绝 \(H_0\)。选 A 是比反了方向；选 C 说过头了：没拒绝只是证据不够，不是证明独立（下一块有反例）。
5. 用之前，查这几件事（三大翻车现场与防坑指南）
误把 \(ad-bc\) 写成同行同列相乘 \(ab-cd\)，或分子漏乘样本容量 \(n\)，导致算出的 \(\chi^2\) 缩系数或结果为负。
检验通过时写成“\(100\%\) 肯定有关联”；没达到临界值时写成“证明了两者完全独立”。高考中两类表述均会被严厉扣分！
样本过小或表格稀疏时，大样本近似可能不准。例如仅调查 \(4\) 人、四格期望频数均为 \(1\)，即使算得 \(\chi^2=4>3.841\)，也不能直接照搬大样本临界值。统计量可算不等于这套近似检验可用。
右图：\(n=4\) 时即使算得 \(\chi^2=4>3.841\)，期望频数仍过小，不能套用这个大样本临界值下结论。
再深一点（可以先跳过）
四格的 \((O-E)^2/E\) 之和怎样化成正文公式？试记 \(D=ad-bc\)。
展开思路与核对
记行合计 \(r_1,r_2\)、列合计 \(c_1,c_2\)，均为正。四格 \(O-E\) 分别为 \(D/n,-D/n,-D/n,D/n\)。故 \(\chi^2=\frac{D^2}{n}(\frac1{r_1}+\frac1{r_2})(\frac1{c_1}+\frac1{c_2})=\frac{nD^2}{r_1r_2c_1c_2}\)。
近似条件满足且 \(H_0\) 为真时，重复抽样 \(\chi^2\) 超过 \(x_\alpha\) 的比例约为多少？
展开思路与核对
临界值从哪来：\(H_0\) 成立、\(n\) 较大时，\(\chi^2\) 近似服从一种叫“自由度为 \(1\) 的 \(\chi^2\) 分布”的分布，表里的数就是它右侧概率为 \(\alpha\) 的位置。“动手”③ 可以亲手抽样看到这一点。
① 列联表：改人数，看条形图和 \(\chi^2\)
点 \(+\)、\(-\)，或在格子里输入人数（选中后方向键也能改）。上面是等高堆积条形图，虚线是“若独立”时的比例；下面的刻度上，圆点是 \(\chi^2\)，竖线是所选 \(\alpha\) 的临界值。试试把一行清成 \(0\)。
| 犯困 | 不犯困 | 合计 | |
|---|---|---|---|
| 常吃早餐 | |||
| 不常吃 | |||
| 合计 |
② 进阶：比例不变，人数变多
表固定是 \(6m,4m;4m,6m\)：两组比例一直是 \(60\%\) 对 \(40\%\)。拖滑块改 \(m\)（选中后方向键也行），看 \(\chi^2\) 怎么跟着 \(n\) 变。
③ 进阶：\(H_0\) 真成立时，会误判多少次
这里两组各 \(50\) 人，每人选“是”的概率都是 \(0.3\)，两个变量真的独立。每抽一次就得到一张表、一个 \(\chi^2\)。用 \(\alpha=0.05\) 的规则，看误判“有关联”（\(\chi^2\ge3.841\)，红色）的比例。
从易到难排好了。前两道直接用，中间三道是最常见的错，最后一道是挑战。
直接用
1. 一张列联表 \(a=33,b=17,c=17,d=33\)。下面哪个结论对？
B。\(n=100\)，\(ad-bc=1089-289=800\)；行合计、列合计均为 \(50,50\)。\(\chi^2=\dfrac{100\times640000}{50^4}=\dfrac{64000000}{6250000}=10.24\)。\(10.24\ge6.635>3.841\)，因此在这两个显著性水平下都有充分证据认为有关联。
2. \(60\) 名男生中 \(45\) 人喜欢某游戏，\(40\) 名女生中 \(18\) 人喜欢。若“性别”与“喜不喜欢”独立，男生中喜欢的人数应约为？
A。全体喜欢的比例 \(\dfrac{45+18}{100}=63\%\)，独立时男生里也该是 \(63\%\)：\(60\times0.63=37.8\)。B 是实际人数；C 是把 \(63\) 人平分给两组，没考虑男生更多。
易错
3. 取 \(\alpha=0.1\)，算得 \(\chi^2=1.5\)。下面哪句话合适？
C。\(1.5<2.706\)，不能拒绝 \(H_0\)。这只是证据不够：样本再大一些，同样的比例差也可能超过临界值（“动手”②）。A、B 都把“没拒绝”说成了“独立”。
4. 取 \(\alpha=0.01\)，算得 \(\chi^2=8.2\)，拒绝了 \(H_0\)。哪种说法对？
B。\(\alpha\) 控制的是“\(H_0\) 为真时误拒”的概率，是规则的性质，不是这次结论对不对的概率，所以 A 不对（“动手”③ 里能看到这个比例）。C 混淆了关联和因果。
5. 一次 \(50\) 人的调查算得 \(\chi^2=1.2\)。若再调查一次，人数变成 \(500\)，四个格子都正好是原来的 \(10\) 倍，\(\chi^2=\)？
B。\(n\) 乘 \(10\)，\((ad-bc)^2\) 乘 \(10^4\)，分母四个合计的乘积也乘 \(10^4\)，合起来 \(\chi^2\) 乘 \(10\)。\(12>10.828\)，连 \(\alpha=0.001\) 都能拒绝。原来“没有充分证据”，只是人太少。
挑战
6. 两组各 \(50\) 人，选“是”的一共 \(40\) 人。第一组选“是”的比第二组多。第一组至少有几人选“是”，才能在 \(\alpha=0.05\) 下认为有关联？
B。设第一组 \(a\) 人选“是”，则 \(b=50-a\)，\(c=40-a\)，\(d=10+a\)。\(ad-bc=a(10+a)-(50-a)(40-a)=100a-2000\)。
\(\chi^2=\dfrac{100\times(100a-2000)^2}{50\times50\times40\times60}=\dfrac{(a-20)^2}{6}\)。要 \(\dfrac{(a-20)^2}{6}\ge3.841\)，即 \((a-20)^2\ge23.05\)。\(a=24\) 时 \(\dfrac{16}{6}\approx2.67\) 不够，\(a=25\) 时 \(\dfrac{25}{6}\approx4.17\) 够了。也就是 \(50\%\) 对 \(30\%\)。
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